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１.１ 集合的概念和表示
【学习目标】
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).
2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点)，记住常用数集的表示符号并会应用．
3.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．
【知识结构】
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【考点总结】
一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
3、常用数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．21世纪教育网版权所有
【例题讲解】
【类型】一、集合的基本概念
例1、下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
解 (1)“高个子”没有 ( http: / / www.21cnjy.com )明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．21·世纪*教育网
规律方法 判断一组对象能否构成集合的依据
【训练】1、下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数 B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【解析】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B2-1-c-n-j-y
【训练】2、下列说法中正确的有（ ）个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：
②全体等边三角形组成一个集合，故正确；
③表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；
④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B
【类型】二、元素与集合的关系
例2、(1)给出下列关系：①∈R；② Q；③|－3| N；④|－|∈Q；⑤0 N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
解析 (1)①②正确；③④⑤不正确．
(2)∵∈N，x∈N，∴当x＝0时， ( http: / / www.21cnjy.com )＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.21*cnjy*com
答案 (1)B (2)0,1,2
规律方法 判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．21·cn·jy·com
【训练】1、下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【详解】
为正整数集，所以，故①不正确；
表示整数集，所以，故②正确；
表示有理数集，则，，故③正确，④不正确；
故选：B
【训练】2、若集合中的元素满足，且，则下列各式正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．且 D．，且
【答案】D
【详解】
因为，，所以，.
故选：D
【类型】三、集合中元素的特性
一、确定性
例3、下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．2007年所有的欧盟国家 B．校园中长的高大的树木
C．学校篮球水平较高的学生 D．中国经济发达的城市
【答案】A
【详解】
A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；
B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；
C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；
D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，
故选：A
【训练】3、下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．19世纪中国平均气温较高的年份
C．一组对边平行的四边形 D．的近似值
【答案】C
【详解】
解：只要一组对边平行的四边形都在选项C这个全体中，那么C中所有对象能构成一个集合，
而选项A，B，D都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中.
故选：C.
二、互异性
例4、已知集合是由三个元素组成的，且，求________.
【答案】
【详解】
解：由﹣3∈A，可得﹣3=a﹣2，或﹣3=2a2+5a，
由﹣3=a﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去.
由﹣3=2a2+5a，解得a=﹣1或，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去.
∴a=.
故答案为：﹣.
【训练】4、已知集合中的元素为，若，则__________.
【答案】或；
【详解】
由，，
若，，，
此时，符合题意；
若，则，，
当时，，不符题意，
当时，，符合题意，
综上可得：或.
故答案为：1或2.
【类型】三、用列举法表示集合
例5、用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)不大于10的正偶数集；
(3)方程组的解集．
解 (1)因为15的正约数为1,3,5,15，
所以所求集合可表示为{1,3,5,15}．
(2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10，
所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．
(3)解方程组得
所以所求集合可表示为{(－3,0)}．
规律方法 用列举法表示集合的三个注意点
(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．
(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．
(3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．
【训练】5、若集合，，用列举法表示________．
【答案】
【解析】因为，，所以故答案为：
【类型】四、用描述法表示集合
例6、用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．www.21-cn-jy.com
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n ( http: / / www.21cnjy.com )＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．2·1·c·n·j·y
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．www-2-1-cnjy-com
【训练】6、用适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）反比例函数的自变量组成的集合；
（3）不等式的解集
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）二次函数的函数值为y，
∴二次函数的函数值y组成的集合为.
（2）反比例函数的自变量为x
∴反比例函数的自变量组成的集合为.
（3）由，得，∴不等式的解集为.
【针对训练】
一、单选题
1．下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）
A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}
【答案】C
【解析】
由集合的表示方法可选出答案.
【详解】
通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；
∴C中的集合不同于另外3个集合．
故选：C
2．已知集合，则有（ ）
A．且 B．但
C．但 D．且
【答案】B
【解析】
化简集合，再判断1和4与集合的关系，得到答案.
【详解】
由，即集合A，
则，.
故选：B
【点睛】
本题考查了集合描述法的理解，二次函数的值域，元素与集合间的关系，属于基础题.
3．给出下列说法：
①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；
②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；
③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}；
④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．
其中正确说法的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①一个集合的表示方法不唯一；②集合 ( http: / / www.21cnjy.com )P={x|0≤x≤1}有无穷多个元素，故是无限集；③集合{x|x∈N ，x<5}={0,1,2,3,4}正确；④显然集合{(1，2)}≠{(2,1)}.21教育网
【详解】
①一个集合的表示方法不唯一，如{0,1,2}={x|-1②集合P＝{x|0≤x≤1}有无穷多个元素，故是无限集，正确；
③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}，正确；
④集合{(1，2)}≠{(2,1)}，错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合的概念，集合的表示方法，集合的分类，属于容易题.
4．集合用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
解出不等式，确定出不等式的解集中的自然数即得．
【详解】
由得，又，所以集合表示为．
故选：D．
5．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．
解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．
即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．
故选D．
点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．
6．已知集合，，，且，，，若，则．
A． B．
C． D．且
【答案】B
【解析】
【分析】
设，得到，结合集合的表示，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，设，，，，，，
则，
令，则，且，，
则，故选B．
【点睛】
本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．21cnjy.com
二、填空题
7．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．
【答案】{x|x＝4n+3，n∈N}
【解析】
【分析】
设该数为x，则该数x满足x＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式.
【详解】
设该数为x，则该数x满足x＝4n+3，n∈N；
∴所求的正整数集合为{x|x＝4n+3，n∈N}．
故答案为：{x|x＝4n+3，n∈N}．
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.
8．被4除余2的所有自然数组成的集合___________
【答案】
【解析】
【分析】
用集合描述法表示.
【详解】
被4除余2的所有自然数组成的集合
故答案为:
【点睛】
此题为基础题，考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.
9．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
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【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
【解析】
【详解】
由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且.
故答案为且.
点睛：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关键是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件为集合的元素的公共属性.【来源：21·世纪·教育·网】
10．下面六种表示方法
①{x＝－1，y＝2}；②；③{－1，2}；
④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥或.
其中，能正确表示方程组的解集的是____________(把所有正确答案的序号填上).
【答案】②⑤
【解析】
由题意结合集合的表示方法、解集的概念，逐项判断即可得解.
【详解】
由题意方程的解为，
①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，故①不正确；
②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同，故②正确；
③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素，故③不正确；
④表示的是区间不是点集，故④不正确；
⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等，故⑤正确；
⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号，条件中“或”也要改为“且”，故⑥不正确.
故答案为：② ⑤ .
【点睛】
本题考查了方程解集的表示，掌握集合的表示方法是解题关键，属于基础题.
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１.１ 集合的概念和表示
【学习目标】
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).
2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点)，记住常用数集的表示符号并会应用．
3.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．
【知识结构】
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【考点总结】
一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
3、常用数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．21世纪教育网版权所有
【例题讲解】
【类型】一、集合的基本概念
例1、下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
【训练】1、下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数 B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数
【训练】2、下列说法中正确的有（ ）个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
【类型】二、元素与集合的关系
例2、(1)给出下列关系：①∈R；② Q；③|－3| N；④|－|∈Q；⑤0 N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【训练】1、下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【训练】2、若集合中的元素满足，且，则下列各式正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．且 D．，且
【类型】三、集合中元素的特性
一、确定性
例3、下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．2007年所有的欧盟国家 B．校园中长的高大的树木
C．学校篮球水平较高的学生 D．中国经济发达的城市
【训练】3、下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．19世纪中国平均气温较高的年份
C．一组对边平行的四边形 D．的近似值
二、互异性
例4、已知集合是由三个元素组成的，且，求________.
【训练】4、已知集合中的元素为，若，则__________.
【类型】三、用列举法表示集合
例5、用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)不大于10的正偶数集；
(3)方程组的解集．
【训练】5、若集合，，用列举法表示________．
【类型】四、用描述法表示集合
例6、用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【训练】6、用适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）反比例函数的自变量组成的集合；
（3）不等式的解集
【针对训练】
一、单选题
1．下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）
A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}
2．已知集合，则有（ ）
A．且 B．但
C．但 D．且
3．给出下列说法：
①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；
②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；
③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}；
④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．
其中正确说法的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．①③④
4．集合用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
5．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
6．已知集合，，，且，，，若，则．
A． B．
C． D．且
二、填空题
7．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．
8．被4除余2的所有自然数组成的集合___________
9．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
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10．下面六种表示方法
①{x＝－1，y＝2}；②；③{－1，2}；
④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥或.
其中，能正确表示方程组的解集的是____________(把所有正确答案的序号填上).
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