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1.5 全程量词与存在量词
【学习目标】
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
【考点总结】
一、全称量词与全称命题
1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为: x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.21世纪教育网版权所有
4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.
二、存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个,使p()成立,可简记为: ∈M,p(),读作“存在M中的元素,使p()成立”.21教育网
(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.21cnjy.com
三、全称命题与存在量词命题的否定
命题类型 全称量词命题 存在量词命题
形式 x∈M,p(x) ∈M,p()
否定 ∈M,p() x∈M,p(x)
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题
【例题讲解】
【类型】一、全称量词与全称命题
例1、将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A． a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
B． a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
C． a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
D． a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
【训练】1、用符号“ ”“ ”表达下列命题．
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
（3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；
（4）存在实数x，使得x3＞x2．
【类型】二、全称量词命题与存在量词命题的否定
例2、写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
【训练】2、已知p：“ x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0”，则￢p为（ ）
A． x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0
B． x0∈R，
C．不存在x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0
D． x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4≠0
【针对训练】
一、单选题
1．下列命题中是全称命题的是( )
A．圆有内接四边形
B．
C．
D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形
2．下列命题中全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
3．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数
4．下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是（ ）
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
5．下列命题中正确的个数是（ ）
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列存在量词命题是假命题的是（ ）
A．存在，使 B．存在，使
C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数
二、填空题
7．命题“对任意一个实数x，都不小于零”，用“”或“”符号表示为________________.
8．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是__________.
9．若“，”是真命题，则实数m的取值范围________.
三、解答题
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）梯形的对角线相等；
（2）存在一个四边形有外接圆
（3）二次函数的图象都与x轴相交；
（4）存在一对实数x，y，使成立
11．用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假.
（1）对所有实数a，b，方程恰有一个解；
（2）一定有整数x，y，使得成立；
（3）所有的有理数x都能使是有理数
12．选择合适的量词，加在的前面，使其成为一个真命题.
（1）；
（2）x是偶数；
（3）若x是无理数，则是无理数；
（4）.（这是含有三个变量的语句，则用表示）
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1.5 全程量词与存在量词
【学习目标】
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
【考点总结】
一、全称量词与全称命题
1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为: x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.www-2-1-cnjy-com
4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.
二、存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个,使p()成立,可简记为: ∈M,p(),读作“存在M中的元素,使p()成立”.2-1-c-n-j-y
(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.21*cnjy*com
三、全称命题与存在量词命题的否定
命题类型 全称量词命题 存在量词命题
形式 x∈M,p(x) ∈M,p()
否定 ∈M,p() x∈M,p(x)
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题
【例题讲解】
【类型】一、全称量词与全称命题
例1、将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A． a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
B． a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
C． a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
D． a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
【分析】根据全称命题的定义进行改写即可．
【解答】解：命题对应的全称命题为： a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的理解，比较基础．
【训练】1、用符号“ ”“ ”表达下列命题．
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
（3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；
（4）存在实数x，使得x3＞x2．
【分析】根据全称量词命题可以表示为“ x∈R，P（x）”，
存在量词命题可以表示为“ x∈R，P（x）”；
分别写出对应的命题即可．
【解答】解：对于（1），实数都能写成小数的形式，
即： x∈R，x可以写出小数的形式；
对于（2），存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
即： 有序数对（x，y），且x∈R，y∈R，有x+y+3＜0；
对于（3），任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；
即： x∈R，﹣1×x＝﹣x；
对于（4），存在实数x，使得x3＞x2；
即： x∈R，x3＞x2．
【点评】本题考查了全称量词命题和存在量词命题应用问题，是基础题．
【类型】二、全称量词命题与存在量词命题的否定
例2、写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.
(3)是全称命题，其否定： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
规律方法 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
【训练】2、已知p：“ x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0”，则￢p为（ ）
A． x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0
B． x0∈R，
C．不存在x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0
D． x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4≠0
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：由题知，￢p为“ x0∈R，”．
故选：B．
【点评】本题考查含量词命题的否定．是基本知识的考查．
【针对训练】
一、单选题
1．下列命题中是全称命题的是( )
A．圆有内接四边形
B．
C．
D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
含有特称量词“有些”，“至少”，“存在”的命题都是特称命题；含有全称量词“任意”的是全称命题．
【详解】
A命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称命题．
其余三命题均不为全称命题．
故选A．
【点睛】
本题考查特称命题、全称命题的含义；常见的量词，属于一道基础题．
2．下列命题中全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特称命题、全称命题的特点即可判断出结论．
【详解】
①②满足“对所有的…都成立”的特点，是全称命题，③含有“存在”，是特称命题．
【点睛】
本题考查了特称命题、全称命题的判定方法，属于基础题．
3．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数
【答案】C
【解析】
直接根据全称量词与存在量词的概念，找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案．
【详解】
A、B、D中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题，
故选：C.
【点睛】
本题考查存在量词与存在量词命题，是基础题．
4．下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是（ ）
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合“ ”表示的意义、全称命题的含义即可得解.
【详解】
由题意，命题“ x∈R，x2>3”为全称命题，
所以该命题的另一种表述方式的是“任选一个x∈R，使得x2>3”.
故选：C.
【点睛】
本题考查了全称命题的表述，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
5．下列命题中正确的个数是（ ）
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
①由实数的性质即可判断出正误．
②取数1满足条件；
③取x＝π即可判断出正误．
【详解】
解：① x∈R，x≤0．正确；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π．
综上可得：①②③都正确．
故选：D．
6．下列存在量词命题是假命题的是（ ）
A．存在，使 B．存在，使
C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数
【答案】B
【解析】
根据存在量词命题中应该含有“存在”等词，且具有 “”形式，再根据命题的真假即可得出结果.
【详解】
，使成立，A是真命题；恒成立，因此不存在，使，B是假命题；2是素数，也是偶数，C是真命题；0是有理数，0没有倒数，D是真命题，
故选：B.
【点睛】
本题考查存在量词命题真假的判断，属于基础题．
二、填空题
7．命题“对任意一个实数x，都不小于零”，用“”或“”符号表示为________________.
【答案】，
【解析】
根据全称量词命题：，以及含有全称量词“任意一个”，用符号“”表示，“不小于零”就是“”，据此即可表示出结果.21教育网
【详解】
含有全称量词“任意一个”，用符号“”表示，“不小于零”就是“”，因此命题用符号表示为“，”，故填：，.21cnjy.com
【点睛】
本题考查含有全称量词的命题就称为全称量词命题．一般形式为：全称量词命题：．
8．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意并结合集合间的包含关系求解即可得到结果．
【详解】
对任意x＞3，x＞a恒成立，
∴，
∴a≤3.
∴实数a的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
解答本题的关键是准确理解题意，然后将问题转化为集合间的包含关系，解题中容易出现的错误是漏掉结果中的等号，属于基础题．21·cn·jy·com
9．若“，”是真命题，则实数m的取值范围________.
【答案】
【解析】
由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，据此即可求出结果.
【详解】
由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，即.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了存在量词命题的概念的理解，以及数学转换思想，属于基础题.
三、解答题
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）梯形的对角线相等；
（2）存在一个四边形有外接圆
（3）二次函数的图象都与x轴相交；
（4）存在一对实数x，y，使成立
【答案】（1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题
【解析】
根据全称量词命题中应含所“任意”等词，且具有 “”形式；根据存在量词命题中应该含有“存在”等词，且具有 “”形式，然后再分别判断即可求出结果.21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然是全称量词命题.
（2）命题中含有存在量词，为存在量词命题.
（3）命题完整的表述为“所有的二次函数的图象都与x轴相交”，故为全称量词命题.
（4）命题中含有存在量词，为存在量词命题.
【点睛】
本题考查全称量词命题和存在量词命题的判断，属于基础题．
11．用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假.
（1）对所有实数a，b，方程恰有一个解；
（2）一定有整数x，y，使得成立；
（3）所有的有理数x都能使是有理数
【答案】（1），恰有一个解；假命题.
（2），；真命题.
（3），是有理数；真命题.
【解析】
根据全称量词命题中应含所“任意”等词，且具有 “”形式；根据存在量词命题中应该含有“存在”等词，且具有 “”形式，据此写出结果，并判断真假即可.www.21-cn-jy.com
【详解】
（1），恰有一个解；假命题.
（2），；真命题.
（3），是有理数；真命题.
【点睛】
本题考查含有全称量词的命题就称为全称量词命题，含有存在量词的命题称为存在量词命题．一般形式为：全称量词命题：；存在量词命题．2·1·c·n·j·y
12．选择合适的量词，加在的前面，使其成为一个真命题.
（1）；
（2）x是偶数；
（3）若x是无理数，则是无理数；
（4）.（这是含有三个变量的语句，则用表示）
【答案】（1），.（2），x是偶数.（3），若x是无理数，则是无理数.（4），.
【解析】
根据全称量词命题中应含所“任意”等词，且具有 “”形式；根据存在量词命题中应该含有“存在”等词，且具有 “”形式，据此写出结果即可.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1），.
（2），x是偶数.
（3），若x是无理数，则是无理数.
（4），.
【点睛】
本题考查含有全称量词的命题就称为全称量词命题，含有存在量词的命题称为存在量词命题．一般形式为：全称量词命题：；存在量词命题．21·世纪*教育网
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