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1.3 集合的基本运算
【学习目标】
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点).
2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点)．
4.理解全集、补集的概念(难点)，准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点).
5.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)．
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U且x A}
图形语言
【例题讲解】
【类型】一、并集的概念及简单应用
例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}21教育网
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
【训练】1、已知集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}，则P∪Q＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3} D．
【训练】2、已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}．
（1）若A＝B，求a的值；
（2）若A∪B＝A，求a的值．
【类型】二、交集的概念及简单应用
例2、(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
【训练】3、设集合M＝{x∈R|0≤x≤2}，N＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则M∩N＝（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|﹣1＜x＜3}
【训练】4、设集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|x2﹣2（a+2）x+a2+3＝0}．
（1）若A∩B＝{1}，求实数a的值；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【训练】5、已知集合A＝{y|y＝4x﹣2，﹣1＜x＜3}，B＝{x|3m﹣1＜x＜2m+1}．
（Ⅰ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B＝{x|a＜x＜b}且b﹣a＝2，求实数m的取值范围．
【类型】三、补集的基本运算
例3、(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则 UM＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0
C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2}
(2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a＝________.
【训练】6、设集合U＝{x|x＜5，x∈N*}，M＝{x|x2﹣5x+4＝0}，则 UM＝（ ）
A．{2，3} B．{1，5} C．{1，4} D．{2，3，5}
【训练】7、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若 UM＝{1，4}，则p的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
【训练】8、设全集U＝{2，4，6，8，a，10}，集合A＝{2，|a﹣6|，10}，{6，8} UA，则实数a的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．3 B．10 C．2 D．2或10或3
【针对训练】
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，或，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
3．已知集合A={x|x2-3|x|+2=0}，集合B满足A∪B={-2，-l，1，2}，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1
5．若集合，，则
A． B．
C． D．
6．已知集合，则中元素的个数是
A． B． C． D．
7．设集合，，则．
A． B． C． D．
8．已知集合，，若，则实数的取值范围为．
A． B． C． D．
9．设集合，，则．
A． B． C． D．
10．已知集合，若，则实数的取值范围为．
A． B．
C． D．
11．设，是非空集合，定义且．已知，，则．
A． B．
C．或 D．或
12．已知非空集合，满足以下两个条件：
①，；
②的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素．
则有序集合对的个数为．
A．10 B．12 C．4 D．16
二、填空题
13．已知集合，集合．若，则实数的值为______．
14．设集合，，或，则______．
15．设，，，则______．
三、解答题
16．已知集合，，，若，求实数，的值．
17．已知集合．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，，求实数的取值范围．
18．设集合，，如果，求实数的取值范围．
19．已知集合，．
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中仅有一个元素，求实数的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1.3 集合的基本运算
【学习目标】
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点).
2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点)．
4.理解全集、补集的概念(难点)，准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点).
5.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)．
【知识结构】
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【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U且x A}
图形语言
【例题讲解】
【类型】一、并集的概念及简单应用
例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}21cnjy.com
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
解析 (1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．
答案 (1)A (2)C
规律方法 求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．www.21-cn-jy.com
【训练】1、已知集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}，则P∪Q＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3} D．
【分析】直接利用两个集合并集的定义分析求解即可．
【解答】解：因为集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}，
所以P∪Q＝{x|﹣1＜x＜3}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的基本运算，涉及了集合并集定义理解和应用，解题的关键是掌握集合并集的含义．
【训练】2、已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}．
（1）若A＝B，求a的值；
（2）若A∪B＝A，求a的值．
【分析】（1）可求出A＝{1，2}，根据A＝B可得出1，2∈B，从而可得出a＝3；
（2）根据A∪B＝A可得出B A，对于方程x2﹣ax+a﹣1＝0，可求出△＝（a﹣2）2，然后讨论△＝0和△＞0，分别求出a的值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：（1）A＝{1，2}，
∵A＝B，∴1，2∈B，
∴a＝1+2＝3；
（2）∵A∪B＝A，
∴B A，
∴①△＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝0，即a＝2时，B＝{1}，满足题意；
②△＞0时，1，2∈B，∴a＝3，
综上得，a＝2或3．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合相等的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．21·cn·jy·com
【类型】二、交集的概念及简单应用
例2、(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
解析 (1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A．
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
答案 (1)A (2)A
规律方法 求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集．
(2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示．www-2-1-cnjy-com
【训练】3、设集合M＝{x∈R|0≤x≤2}，N＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则M∩N＝（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|﹣1＜x＜3}
【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{x|0≤x≤2}，N＝{0，1，2}，
∴M∩N＝{0，1，2}．
故选：B．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
【训练】4、设集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|x2﹣2（a+2）x+a2+3＝0}．
（1）若A∩B＝{1}，求实数a的值；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）可求出A＝{1，3}，根据A∩B＝{1}可得出1∈B，从而可得出a＝0或2，经验证即可求出a的值；21*cnjy*com
（2）根据A∩B＝B可得出B A，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后可讨论B：B＝ 时，△＝16a+4＜0，解出；B≠ 时，可得出B＝{1}或{3}或{1，3}，经检验，B＝{1}或{3}不合题意，B＝{1，3}时，可求出a＝0，最后即可得出a的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：（1）A＝{1，3}，A∩B＝{1}，
∴1∈B，∴1﹣2（a+2）+a2+3＝0，解得a＝0或a＝2，
当a＝0时，B＝{1，3}，不符题意舍；
当a＝2时，集合B＝{1，7}，符合题意，
综上可得，实数a的值为2；
（2）∵A∩B＝B，∴B A，
①当B＝ 时，则△＝[﹣2（a+2）]2﹣4（a2+3）＝16a+4＜0，
解得；
②当B≠ 时，集合B＝{1}或B＝{3}或B＝{1，3}，
若B＝{1}或B＝{3}，
则△＝[﹣2（a+2）]2﹣4（a2+3）＝16a+4＝0，
解得，此时，不符合题意；
若B＝{1，3}，由根与系数的关系定理，
可得，解得a＝0，
综上所述，实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了交集及其运算，元素与集合的关系，一元二次方程无解和二重根时，判别式△的取值情况，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题．2·1·c·n·j·y
【训练】5、已知集合A＝{y|y＝4x﹣2，﹣1＜x＜3}，B＝{x|3m﹣1＜x＜2m+1}．
（Ⅰ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B＝{x|a＜x＜b}且b﹣a＝2，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据A∪B＝A可得出B A，然后讨论B是否为空集：B＝ 时，B≠ 时，解出m的范围即可；【出处：21教育名师】
（2）根据条件可讨论：A∩B＝{3m﹣1 ( http: / / www.21cnjy.com )＜x＜2m+1}，A∩B＝{x|3m﹣1＜x＜10}，A∩B＝{x|﹣5＜x＜2m+1}，在每种情况下可得出关于m的不等式组，解出m的范围即可．【版权所有：21教育】
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{y|y＝4x﹣2，﹣1＜x＜3}＝（﹣6，10），B＝{x|3m﹣1＜x＜2m+1}，
∵A∪B＝A，
∴B A，
当B＝ 时，即3m﹣1≥2m+1时，解得m≥2，此时满足题意，
当B≠ 时，即3m﹣1＜2m+1时，解得m＜2，
则，解得m，
综上所述m的取值范围为[，+∞）；
（Ⅱ）集合A＝（﹣6，10），10﹣（﹣6）＝16，
若A∩B＝{x|a＜x＜b}且b﹣a＝2，
①A∩B＝{3m﹣1＜x＜2m+1}时，，解得m＝0；
②A∩B＝{x|3m﹣1＜x＜10}时，，此时满足条件的m不存在；
③A∩B＝{x|﹣5＜x＜2m+1}时，，解得m，
综上得，m的取值范围为{，0}．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集的定义及运算，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题．21·世纪*教育网
【类型】三、补集的基本运算
例3、(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则 UM＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2}
(2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a＝________.
解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知 UM＝{x|0≤x≤2}．
(2)由题意可知解得a＝2.
答案 (1)A (2)2
规律方法 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合．
【训练】6、设集合U＝{x|x＜5，x∈N*}，M＝{x|x2﹣5x+4＝0}，则 UM＝（ ）
A．{2，3} B．{1，5} C．{1，4} D．{2，3，5}
【分析】可求出集合U，M，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4}，M＝{1，4}，
∴ UM＝{2，3}．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
【训练】7、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若 UM＝{1，4}，则p的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
【分析】由题意推出M中方程的解，然后求出p的值．
【解答】解：因为集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若 UM＝{1，4}，所以M＝{2，3}
即2，3是方程的两个根，22﹣5×2+p＝0，所以p＝6．
故选：D．
【点评】本题考查集合的补集的运算，考查计算能力．
【训练】8、设全集U＝{2，4，6，8，a，10}，集合A＝{2，|a﹣6|，10}，{6，8} UA，则实数a的值是（ ）2-1-c-n-j-y
A．3 B．10 C．2 D．2或10或3
【分析】由集合补集的定义得到6 A，8 A，则有|a﹣6|＝4或|a﹣6|＝a，求解即可得到答案．
【解答】解：因为全集U＝{2，4，6，8，a，10}，集合A＝{2，|a﹣6|，10}，{6，8} UA，
所以6 A，8 A，
则|a﹣6|＝4或|a﹣6|＝a，
解得a＝2（舍）或a＝10（舍）或a＝3，
所以实数a的值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了集合补集的理解和应用，解题时要注意集合元素互异性，考查了逻辑推理能力，属于基础题．21教育名师原创作品
【针对训练】
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，-2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{ 0，2}，所以
{-2,0,2}，故选D．
考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．
2．已知集合，或，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【解析】
【详解】
由并集的定义可得或.
故选A.
3．已知集合A={x|x2-3|x|+2=0}，集合B满足A∪B={-2，-l，1，2}，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解集合A,再由A∪B=A，得B A，利用自己个数的求解公式即可得解.
【详解】
由x2-3|x|+2=0，解得|x|=1或2，A={-2，-1，1，2}；
∵A∪B={-2，-1，1，2}=A；
∴B A；
∵A子集的个数为：；
∴满足条件的集合B的个数为16．
故选C．
【点睛】
考查描述法、列举法的定义，一元二次方程的解法，并集及子集的定义．
4．设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用数轴分析得到满足题意得a所满足的条件，求解不等式组即得.
【详解】
∵R，∴,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴.
故选：A.
5．若集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由交集的定义可得，为图中阴影部分，即，故选A.
考点：集合的交集运算.
6．已知集合，则中元素的个数是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故选B.
考点：集合的交集运算.
7．设集合，，则．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，又，
所以．
故选D
【点睛】
本题主要考查集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.
8．已知集合，，若，则实数的取值范围为．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集的结果，通过数轴表示，可直接得出结果.
【详解】
因为，，，在数轴上表示如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以.
故选B
【点睛】
本题主要考查由集合的交集结果求参数的问题，熟记集合交集的概念即可，属于基础题型.
9．设集合，，则．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到集合的交集表示两直线交点构成的集合，联立直线方程，即可求出结果.
【详解】
因为，，
由，得，所以．
故选C
【点睛】
本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.
10．已知集合，若，则实数的取值范围为．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由，得到，推出于的方程无实根，根据判别式小于0，即可得出结果.
【详解】
∵，∴，
因为，
∴关于的方程无实根，即．
又，∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查由交集的结果求参数的问题，熟记交集的概念即可，属于常考题型.
11．设，是非空集合，定义且．已知，，则．
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，求出与，再由题中条件，即可求出结果.
【详解】
因为，，
所以，，
则且或.
故选C
【点睛】
本题主要考查新定义下的交集与并集的混合运算，熟记集合交集与并集的概念即可，属于常考题型.
12．已知非空集合，满足以下两个条件：
①，；
②的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素．
则有序集合对的个数为．
A．10 B．12 C．4 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，得到集合中元素个数可以为：1,2,4,5，根据这四种情况分别讨论，即可得出结果；
【详解】
由题意，易知集合中不可能有3个元素；因此集合中元素个数可以为：1,2,4,5；
①当集合中只有1个元素时，集合中有5个元素，
则且，此时，；
②当集合中和2个元素时，集合中有4个元素，则且，
此时集合中必有一个元素为4，集合中必有一个元素为2，
所以，或，或，或，，共4种可能；
③当集合中有4个元素时，集合中有2个元素，此情况与情况②相同，只需，互换，共4种可能；
④当集合中有5个元素时，集合中只有1个元素，此情况与情况①相同，只需，互换，共1种可能．
综上，有序集合对的个数为10．
故选A
【点睛】
本题主要考查由集合并集与交集的结果求集合中的元素的问题，熟记交集与并集的概念即可，属于常考题型.
二、填空题
13．已知集合，集合．若，则实数的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先化简集合，再由得到，得到，从而可求出结果.
【详解】
由题意可得．
∵，∴．
∵，∴，∴，解得．
故答案为2
【点睛】
本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.
14．设集合，，或，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意求出，再和集合求并集，即可得出结果.
【详解】
因为，或，
所以，又，
∴．
故答案为
【点睛】
本题主要考查交集与并集的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.
15．设，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意求出，，再由并集的概念，即可求出结果.
【详解】
因为，，，
所以，，
所以．
故答案为
【点睛】
本题主要考查交集与并集的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.
三、解答题
16．已知集合，，，若，求实数，的值．
【答案】，．
【解析】
【分析】
先由题意，根据并集的结果，以及各集合的特征，得到，求出，代入方程，求出集合，得到，进而可求出.21世纪教育网版权所有
【详解】
因为，，
所以，又，所以．
将代入方程，解得．
由此可得．
因为且，所以．
将代入方程，解得．
此时，满足，所以，．
【点睛】
本题主要考查由集合并集的结果求参数的问题，熟记并集的概念即可，属于常考题型.
17．已知集合．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据，得到，再由题意，即可得出结果；
（2）根据，得到，再由题意，即可求出结果.
【详解】
（1）由，知，
又，，所以，
即实数的取值范围为．
（2）由，知．
又，，所以，
即实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.
18．设集合，，如果，求实数的取值范围．
【答案】或
【解析】
【分析】
先由得到，化简集合，通过研究方程根的个数情况，即可得出结果.
【详解】
由，知．
．
对于方程，
当，即时，，满足；
当，即时，，满足；
当，即时，中有两个元素，且，
所以，此时可得，符合题意．
综上，可知实数的取值范围是或．
【点睛】
本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.
19．已知集合，．
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中仅有一个元素，求实数的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
【分析】
（1）由中有两个元素，得到一元二次方程有两个不相等的实数根，根据，即可求出结果；
（2）由中仅有一个元素，得到一元二次方程有两个相等的实数根，由，即可求出结果.
【详解】
（1）若中有两个元素，则有两组解，
即一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得或．
所以实数的取值范围为或．
（2）若中仅有一个元素，则只有一组解，
即一元二次方程有两个相等的实数根，
所以，解得或．
所以实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查由交集中元素个数求参数的问题，熟记交集的概念，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.21教育网
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