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2.1 等式性质与不等式性质
【学习目标】
1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2、会利用不等式性质比较大小
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．21世纪教育网版权所有
三、比较两个实数a、b大小的依据
文字语言 符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a>b a－b>0a
[化解疑难]
1．上面的“ ”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“ ”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.21教育网
四、不等式的性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c；
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)： a＋c>b＋d；
(4)可乘性： ac>bc； ac推论(同向同正可乘性)： ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0 >(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难]
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【例题讲解】
【类型】一、不等式性质的应用
例1、已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
【训练】1、若，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【训练】2、已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdC．ac>bd D．ac【训练】3、已知，且，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【训练】4、设aA． B．acC．|a|>－b D．
【类型】二、利用不等式的性质求范围
例2、已知2【训练】1、已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【训练】2、设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
一、单选题
1．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．（2022·广东·普宁市华侨中学高一期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）已知a，b是实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·高一）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
5．（2022·江苏·高一）如果，那么（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·高一）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
7．（2022·广东深圳·高一期末）设a，bR，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知集合，,则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河北沧州·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若a，，则
C．若，，则 D．若，则
10．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数，给定下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、解答题
11．（2022·湖南·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
12．（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
13．（2022·江苏·高一）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
14（2022·湖南·高一课时练习）回答下列问题：
(1)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(2)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(3)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(4)若，，且，，能否判断与的大小？举例说明．
15．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
16．（2022·湖南·高一课时练习）求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
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2.1 等式性质与不等式性质
【学习目标】
1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2、会利用不等式性质比较大小
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．21教育网
三、比较两个实数a、b大小的依据
文字语言 符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a>b a－b>0a[化解疑难]
1．上面的“ ”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“ ”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.21cnjy.com
四、不等式的性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c；
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)： a＋c>b＋d；
(4)可乘性： ac>bc； ac推论(同向同正可乘性)： ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0 >(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难]
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【例题讲解】
【类型】一、不等式性质的应用
例1、已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明 ∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，
∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，
∴＞.
反思与感悟 利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．21·cn·jy·com
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．www.21-cn-jy.com
【训练】1、若，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，所以故选：B
【训练】2、已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdC．ac>bd D．ac【答案】A
【解析】对于A、B：
a>b，c>d，ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；故选：A.
【训练】3、已知，且，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项：举反例，则，则A不成立；
对于B选项：举反例，则，所以，则B不成立；
对于C选项：举反例，则，所以，则C不成立；
对于D选项：
∵，∴又∵∴，即.则D成立故选：D.
【训练】4、设aA． B．acC．|a|>－b D．
【答案】B
【解析】对A，因为a对B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确，符合题意；
对C，|a|＝－a>－b，则选项C正确，不符合题意；
对D，由－a>－b>0，可得，则选项D正确，不符合题意.
故选：B.
【类型】二、利用不等式的性质求范围
例2、已知2解 ∵3又2∵3又2综上，－6反思与感悟 利用性质求范围问题的基本要求
(1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等．21世纪教育网版权所有
(2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
【训练】1、已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，A正确；
因为，所以，解得，B错误；
因为，，所以，C正确；
，，所以， D错误.故选：AC.
【训练】2、设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，，，A正确；
，，，B错误；
，，，C正确；
，，，D错误；故选：AC
【针对训练】
一、单选题
1．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式性质依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，若，由可得：，A错误；
对于B，若，则，此时未必成立，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.
故选：D.
2．（2022·广东·普宁市华侨中学高一期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对选项逐一分析
【详解】
对于A，，故A正确
B，C，D均不成立，可举反例，取，
故选：A
3．（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）已知a，b是实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质确定正确答案.
【详解】
由于，所以，A选项正确.
，BD选项错误.
，C选项错误.
故选：A
4．（2022·江苏·高一）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
【答案】C
【解析】
【分析】
对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】
对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
5．（2022·江苏·高一）如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
举例判断A，B，D错误，再证明C正确.
【详解】
由已知可取，则
，A错，
，B错，
，，D错，
因为，所以
所以，故，C对，
故选：C.
6．（2022·江苏·高一）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．
【详解】
解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误；
对于B：当时，故B错误；
对于C：由，所以，因为，所以，故C正确；
对于D：当，满足，但是，故D错误；
故选：C
7．（2022·广东深圳·高一期末）设a，bR，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.
【详解】
因为，则，所以，即，故A错误；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，故B错误；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，故C错误；
由可得，，故D正确.
故选：D.
8．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知集合，,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
由已知得，
因为，
所以，故选A．
9．（2022·河北沧州·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若a，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
结合特殊值、差比较法确定正确选项.
【详解】
A：令，；，，则，，不满足，故A错误；
B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；
C：，，，，即，故C正确；
D：令，，不成立，故D错误.
故选：C
10．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数，给定下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；
【详解】
解：对于A：当时，若则，故A错误；
对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；
对于C：若，则，所以，故C正确；
对于D：若，满足，但是，故D错误；
故选：C
二、解答题
11．（2022·湖南·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
【答案】(1)成立，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)不成立，理由见解析；
(4)不成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.
(1)
，
，
，
故成立.
(2)
，,
,
即.
(3)
取时，满足，但是不成立.
(4)
取，满足，，但是不成立.
12．（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
【答案】<
【解析】
【分析】
做差比较大小即可.
【详解】
,
<.
13．（2022·江苏·高一）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求差法进行大小比较即可；
（2）求差法去证明即可解决.
【详解】
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
14（2022·湖南·高一课时练习）回答下列问题：
(1)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(2)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(3)若，且，能否判断与的大小？举例说明．
(4)若，，且，，能否判断与的大小？举例说明．
【答案】(1)不能判断，举例见解析
(2)不能判断，举例见解析
(3)不能判断，举例见解析
(4)不能判断，举例见解析
【解析】
【分析】
因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定.
(1)
不能判断与的大小，
举例：取，满足条件，且，此时；
取，满足条件，且，此时；
取，满足条件，且，此时；
(2)
不能判断与的大小，
举例：取，满足条件，且，此时；
取，满足条件，且，此时.
取，满足条件，且，此时；
(3)
不能判断与的大小，
举例：取，满足条件，且，此时；
取，满足条件，且，此时；
取，满足条件，且，此时；
(4)
不能判断与的大小
举例：取，满足条件，且，此时；
取，满足条件，且，此时；
取，满足条件，且，此时；
15．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）可知，而，即可得证；
（2）可知，而，即可得证；
(1)
证明： ，
，
又，
；
(2)
证明：，
，
又，
．
16．（2022·湖南·高一课时练习）求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将变为，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；
（2）由以及，可得，再根据，同号，得，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；
（3）由可得，继而可得,利用不等式的性质可得结论.
(1)
证明：因为，所以，
又，故，
即；
(2)
证明：因为，，所以 ，
因为，同号，所以 ，，
故，即，所以；
(3)
证明：因为，所以，
又，所以，
故.
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