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1.2 集合间的基本关系
【学习目标】
1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断(重点).
2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系(难点).
3.了解空集的含义及其性质(易错点)．
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．www.21-cn-jy.com
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B(或B A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B) ( http: / / www.21cnjy.com )，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.2·1·c·n·j·y
③真子集的概念
定义 符号表示 图形表示
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，称集合A是集合B的真子集 A?B(或B?A)
④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为： .
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C；
②若A?B，B?C，则A?C.
③若A B，A≠B，则A?B.
【例题讲解】
【类型】一、集合关系的判断
例1、指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解析 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M.
规律方法 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
【训练】1、在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（ ）
A．A＝B B．A B C．A B D．A B
【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．
【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，
又A＝{1﹣2，0，2}，
所以A B．
故选：C．
【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题．
【训练】2、设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（ ）
A．M＝P B．P∈M C．M P D．P M
【分析】由函数得：P＝{y|y≥1}，M＝R，即P M，得解
【解答】解：因为y＝x2+1≥1，
即P＝{y|y≥1}，
M＝{x|y＝x2+1}＝R，
所以P M，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.
【类型】二、子集、真子集个数问题
例2、(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．
(2)写出满足{3,4}?P {0,1,2,3,4}的所有集合P.
(1)解析 集合{a，b，c}的 ( http: / / www.21cnjy.com )子集有： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．21世纪教育网版权所有
答案 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7
(2)解 由题意知，集合P中一定含有元 ( http: / / www.21cnjy.com )素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2．求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
例3、已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．63
【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．21·cn·jy·com
【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，
P＝{x|x，a∈M，b∈N}，
∴P＝{1，2，4，8}，
∴集合P的子集个数为：24＝16．
故选：C．
【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【训练】3、已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A C B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A C B的集合C的个数．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，
∴满足A C B的集合C有：{1，2 ( http: / / www.21cnjy.com )，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，www-2-1-cnjy-com
共7个．
故选：B．
【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．2-1-c-n-j-y
【类型】三、由集合间的包含关系求参数
例4、已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解不等式得，
要使，
当集合时，，解得；
当集合时，，解得.
综上：.
故选：D.
例5、已知集合或，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为或，，且，
所以或，解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：D
【训练】4、设集合，，若，求实数a的值．
【答案】a≤－1或a＝1.
【解析】∵A＝{0，－4}，B A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得解得a＝1.
(2)当时，又可分为两种情况．
①当时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；
②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.
【训练】5、已知，，若，求实数的值.
【答案】或
【解析】，或或或；
若，无解；
若，无解；
若，；
若，；综上：或.
【针对训练】
一、单选题
1．对于两个非空数集A、B，定义点集如 ( http: / / www.21cnjy.com )下：A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（ ）个.21·世纪*教育网
A．14 B．12 C．13 D．11
【答案】A
【解析】
根据A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，得到A×B的元素的个数求解.
【详解】
∵A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}，
所以A×B＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}，
共有四个元素，
则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.
故选：A.
2．设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a的范围判断作答.
【详解】
集合，，因，
于是得，因此有，
所以的取值范围是.
故选：A
3．若、，集合，则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合相等，找到满足的等量关系，求得，即可求得.
【详解】
因为，又，
故可得：，
当时，，满足题意，此时；
当时，，解得，不满足题意，舍去.
故.
故选：C.
4．已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据元素与集合、集合与集合之间的关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为，
元素与集合之间的符号表示只有和，故A错；
和都是的子集，故BC错，D正确；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查元素与集合之间的关系，以及集合与集合之间的关系，属于基础题型.
5．已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
先确定集合的元素，然后根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可．
【详解】
因为，，，
对于①，显然正确；
对于②，，是集合与集合之间的关系，显然用不对；
对于③，，根据空集是任何集合的子集知正确；
对于④，，．根据子集的定义知正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．很小的实数可以构成集合
B．自然数集中最小的数是1
C．空集的元素个数为零
D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
【答案】C
【解析】
【分析】
、根据集合的确定性进行判断；
、根据自然数的概念进行判断；
、根据空集的定义进行判断；
、根据子集的概念进行判断．
【详解】
对于A，很小的实数不确定，不能构成集合，故A不正确；对于B，自然数集中最小的数是0，故B不正确；对于C，空集不含有任何元素，故C正确；对于D，空集只有1个子集，故D不正确，故选C.
【点睛】
本题考查命题真假的判定，考查空集、集合的含义，考查集合中元素的性质，属于基础题．
二、填空题
7．已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
【答案】．
【解析】
分和两种情况讨论，分别求得满足题意的a的范围，综合即可得答案.
【详解】
当时，方程化为，解得，此时，满足题意，
当时，要使，则，解得且，
所以使的实数a的取值范围为．
故答案为：．
8．非空集合P满足下列两个条件：（1）P {1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈P，则6﹣a∈P，则集合P个数是__．21教育网
【答案】6
【解析】
根据题意元素a∈P，则6﹣a∈P，可将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组，讨论集合P中元素的个数，即可得答案.21cnjy.com
【详解】
根据条件：若元素a∈P，则6﹣a∈P，
将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组：3、1和5、2和4．
因为P {1，2，3，4，5}，
当P中元素只有一个时，P＝{3}；
当P中元素只有二个时，P＝{1，5}或{2，4}；
当P中元素只有三个时，P＝{3，1，5}或{3，2，4}；
当P中元素只有四个时，P＝{2，4，1，5}；
当P中元素有五个时，P＝{3，2，4，1，5}不满足题意；
综上所述得：则集合P个数是：6．
故答案为：6．
9．已知集合，，且，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.
【详解】
解：因为，，，
所以，解得，
故答案为：0
【点睛】
本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.
10．设集合，，若，则_______.
【答案】
【解析】
根据得到，计算可得；
【详解】
解：因为，，若
所以解得，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的包含关系求参数的取值，属于基础题.
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1.2 集合间的基本关系
【学习目标】
1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断(重点).
2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系(难点).
3.了解空集的含义及其性质(易错点)．
【知识结构】
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【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．21cnjy.com
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B(或B A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B ( http: / / www.21cnjy.com )是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.21·cn·jy·com
③真子集的概念
定义 符号表示 图形表示
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，称集合A是集合B的真子集 A?B(或B?A)
④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为： .
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C；
②若A?B，B?C，则A?C.
③若A B，A≠B，则A?B.
【例题讲解】
【类型】一、集合关系的判断
例1、指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
【训练】1、在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（ ）
A．A＝B B．A B C．A B D．A B
【训练】2、设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（ ）
A．M＝P B．P∈M C．M P D．P M
【类型】二、子集、真子集个数问题
例2、(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．
(2)写出满足{3,4}?P {0,1,2,3,4}的所有集合P.
例3、已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．63
【训练】3、已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A C B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【类型】三、由集合间的包含关系求参数
例4、已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例5、已知集合或，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【训练】4、设集合，，若，求实数a的值．
【训练】5、已知，，若，求实数的值.
【针对训练】
一、单选题
1．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A ( http: / / www.21cnjy.com )×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（ ）个.21世纪教育网版权所有
A．14 B．12 C．13 D．11
2．设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若、，集合，则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．很小的实数可以构成集合
B．自然数集中最小的数是1
C．空集的元素个数为零
D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
二、填空题
7．已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
8．非空集合P满足下列两个条件：（1）P {1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈P，则6﹣a∈P，则集合P个数是__．21教育网
9．已知集合，，且，则的值为________.
10．设集合，，若，则_______.
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