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2.3 二次函数与一元二次方程不等式
【学习目标】
1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
3、掌握图像法解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.
4、掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
二、一元二次方程的根的分布
(1)一元二次方程的根的零分布
所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2
①x1＞0，x2＞0 ②x1＜0，x2＜0
③x1＜0＜x2＜0．
④x1＝0，x2＞0c＝0，且＜0；x1＜0，x2＝0c＝0，且＞0．
(2)一元二次方程的根的k分布
研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：
①一元二次方程根的判别式．
②对应二次函数区间端点的函数值的正负．
③对应二次函数图象——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
设一元二次方程ax2＋b ( http: / / www.21cnjy.com )x＋c＝0(a＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论．21教育网
根的分布 图象 等价条件
x1≤x2＜k ( http: / / www.21cnjy.com / )
k＜x1≤x2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
x1＜k＜x2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) f(k)＜0
x1，x2 (k1，k2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
x1，x2中有且仅有一个在区间(k1，k2)内 ( http: / / www.21cnjy.com / ) f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜或f(k2)＝0，＜k2．
三、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
五、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
【例题讲解】
【类型】一、一元二次不等式的解法
例1、解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0；
(4)－x2＋3x－5＞0.
【训练】1、解下列不等式：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
【训练】2、求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【类型】二、解含参数的一元二次不等式
例2、解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
【训练】1、已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【训练】2、已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件．
【训练】3、解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
【针对训练】
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．已知二次方程的一个根为1，则另一个根为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B．2 C．22 D．
7．下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知不等式的解集为，则a，b的值是（ ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
9．不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
10．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
11．已知y＝（x－m）（x－n）＋2022 （m
A．αC．m<α<β12．关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、解答题
13．已知不等式的解集为或.
（1）求；
（2）解不等式.
14．解下列不等式：
(1)；
(2).
15．已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
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2.3 二次函数与一元二次方程不等式
【学习目标】
1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
3、掌握图像法解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.
4、掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
【知识结构】
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【考点总结】
一、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
二、一元二次方程的根的分布
(1)一元二次方程的根的零分布
所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2
①x1＞0，x2＞0 ②x1＜0，x2＜0
③x1＜0＜x2＜0．
④x1＝0，x2＞0c＝0，且＜0；x1＜0，x2＝0c＝0，且＞0．
(2)一元二次方程的根的k分布
研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：
①一元二次方程根的判别式．
②对应二次函数区间端点的函数值的正负．
③对应二次函数图象——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ( http: / / www.21cnjy.com )＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论．21·cn·jy·com
根的分布 图象 等价条件
x1≤x2＜k ( http: / / www.21cnjy.com / )
k＜x1≤x2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
x1＜k＜x2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) f(k)＜0
x1，x2 (k1，k2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
x1，x2中有且仅有一个在区间(k1，k2)内 ( http: / / www.21cnjy.com / ) f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜或f(k2)＝0，＜k2．
三、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
五、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
【例题讲解】
【类型】一、一元二次不等式的解法
例1、解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0；
(4)－x2＋3x－5＞0.
解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25 ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－或x＜－3}．www.21-cn-jy.com
(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.2·1·c·n·j·y
(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ ( http: / / www.21cnjy.com )＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为 .【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【训练】1、解下列不等式：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}．
(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为{x|x≠}．
【训练】2、求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）R..
【解析】（1）同解于：或，解得：或，
所以原不等式的解集为.
（2）可化为即或，
解得：或无解所以原不等式的解集为.
（3）可化为：，解得：，
所以原不等式的解集为.
（4）可化为：，所以，无解.所以原不等式的解集为.
（5）可化为： ，即或，
解得：或所以原不等式的解集为.
（6）．可化为：，所以,所以原不等式的解集为R.
【类型】二、解含参数的一元二次不等式
例2、解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
解 原不等式可化为(ax＋1)(x－1)＜0，
当a＝0时，x＜1；
当a＞0时，(x－1)＜0，
∴－＜x＜1；
当a＝－1时，x≠1；
当－1＜a＜0时，(x－1)＞0，
∴x＞－或x＜1；
当a＜－1时，－＜1，
∴x＞1或x＜－.
综上，
当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}；
当a＞0时，原不等式的解集是；
当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；
当－1＜a＜0时，原不等式的解集是.
当a＜－1时，原不等式的解集是.
反思与感悟 含参数不等式的解题步骤
(1)将二次项系数化为正数；( ( http: / / www.21cnjy.com )2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．21世纪教育网版权所有
【训练】1、已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】的解集为,则
的根为，即，，解得，
则不等式可化为，即为，
解得或，故选：A.
【训练】2、已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件．
【答案】
【解析】令，方程有两个大于的实数根
，
解得
所以，方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件为
【训练】3、解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
【答案】答案见解析
【解析】若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1．
若a<0，原不等式等价于，解得或x>1．
若a>0，原不等式等价于．
①当a＝1时，，无解；
②当a>1时，，解，得；
③当0综上所述，当a<0时，解集为或；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为 ；
当a>1时，解集为．
【针对训练】
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法可得或，结合充分不必要条件的定义即可得出结果.
【详解】
由题意知，
，解得或，
又或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
3．已知二次方程的一个根为1，则另一个根为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据韦达定理可求另外一根．
【详解】
设另一根为x，由韦达定理可知，，
即，
故选：A．
4．已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
5．不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；
【详解】
解：依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或
故选：B．
6．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B．2 C．22 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
转化为一元二次方程的两根问题，用韦达定理求出，进而求出答案.
【详解】
由题意得：2与3是方程的两个根，故，，所以.
故选：C
7．下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出各选项中不等式的解，可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，解不等式得，A不满足条件；
对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件；
对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件；
对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件.
故选：D.
8．已知不等式的解集为，则a，b的值是（ ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集特点，再结合韦达定理建立关于的方程，解出方程即可
【详解】
由题意知得：和是方程的两个根
可得：，，即，
解得：，
故选：B
9．不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，分析即可得答案.
【详解】
由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，
，
所以恒成立，
所以不成立，故的解集为.
故选：B
10．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.
【详解】
由题意，和是方程的两个根，
由韦达定理得：且，解得：，，
所以.
故选：B
11．已知y＝（x－m）（x－n）＋2022 （mA．αC．m<α<β【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质判断．
【详解】
记，由题意，，的图象是开口向上的抛物线，
所以上递减，在上递增，
又，，所以，，即．
（也可由的图象向下平移2022个单位得的图象得出判断）
故选：C．
12．关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与解集之间的关系可得、，结合
计算即可.
【详解】
由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
二、解答题
13．已知不等式的解集为或.
（1）求；
（2）解不等式.
【答案】（1）a＝1；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为21cnjy.com
【解析】
（1）由已知可知或是方程的根，把根代入方程中可求出的值；
（2）由（1）可知不等不等式化为，然后分，和求解即可
【详解】
解：（1）因为不等式的解集为或，
所以或是方程的根，
所以，解得
（2）由（1）可知不等式化为，
即
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
【点睛】
此题考查由一元二次不等式的解集求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
14．解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)
(1)因为，
所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集为或.
(2)
(2)因为，
所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝
所以原不等式的解集为.
15．已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.
（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.
(1)
解：因为，所以，
因为不等式的解集为，所以，且，解得．
(2)
由（1）得
则不等式等价为，
即，即．
因为，所以不等式的解为．
即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）
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