2021-2022 北师大版 数学 九年级下册 1.1.1 锐角三角函数 第1课时 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）斜边= 　；
（2）∠A的对边= 　；
（3）∠A的邻边= 　；
（4） =_________
5
3
4
∠A的对边
∠A的邻边
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）斜边= 　；
（2）∠B的对边= 　；
（3）∠B的邻边= 　；
（4） =_________
c
b
a
∠B的对边
∠B的邻边
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
梯子、地面与墙之间形成一个直角三角形，梯子的铅直高度及梯子的水平距离可以看作是它的直角边，梯子的长可以看作是斜边.
铅直高度
水平距离
研究直角三角形的边与角的关系，让我们就从梯子与地面的夹角（倾斜角）谈起
【议一议】
探究一
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角的大小发生了什么变化？
倾斜角越大——梯子越陡
铅直高度
水平距离
用梯子的顶端放在墙上位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断.
探究二
如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
EF更陡
AB更陡
3m
3m
2m
【议一议】
如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.
比值大的梯子陡.
你能设法验证这个结论吗？
A
B1
C1
C2
B2
∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2=90°，
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2，
Rt△AC1B1和Rt△AC2B2有什么关系
【验证】
改变点B2的位置， 的值始终不变，等于
正切的定义：
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A，即tan A＝
结论
C2
A
B1
C1
B2
B
1.如果任意改变B2在梯子上的位置呢 你有什么想法
∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变.
2.如果改变∠A 的大小, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变吗
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变.
探究三
定义的几点说明：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1.
3） tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序）.
4）tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5） tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切（tangent）.记作tan A 即
B
A
C
∠A的邻边
∠A的对边
tan A=
∠A的对边
∠A的邻边
【定义】
梯子AB的倾斜程度与tan A有关吗
tan A的值越大,梯子AB越陡.
A
B
C
【议一议】
例1：下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中,
β
5m
┌
13m
4m
┐
8m
α
乙梯中,
因为tanα> tanβ,
所以甲梯更陡.
【例题】
(甲)
(乙)
一. 判断：
A
B
C
(1)
┍
A
B
C
7m
10m
(2)
4．如图 (2)
( ).
2．如图 (2)
( ).
3．如图 (2)
( ).
1. 如图 (1)
( ).
×
√
×
×
【跟踪训练】
二. 填空:
1.如图，tan =
tan =
2.如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB.
tan∠ACD=_____
┌
A
C
B
D
A
B
C
B
A
tan B =_____=_____
正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度
就是
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角.
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度
(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
3.坡度越大,坡面越陡.
坡度与坡角
100m
60m
┌
α
例1 以下对坡度的描述正确的是(　　 )
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比
B
分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测坡度即为倾斜角的度数．
【例题】
A
C
B
【解析】在Rt△ABC中,BC=20米，
∵坡度为１： ，　　
∴
则AC= 米.
又∵AB2=BC2+AC2，
例2.如图，拦水坝的坡度为 ：１，若坝高BC=20米，求坝面AB的长.
【例题】
例3 如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的 垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.001).
B
解：由勾股定理可知，
AC＝ ＝ ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ ≈ ≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.
【例题】
A
,
2．如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC．若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，上底宽是
3 m，路基高是4 m，则路基的下底宽是(　　)
A．7 m B．9 m
C．12 m D．15 m
D
1.在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切（tangent），记作:tan A
即tan A=
∠A的对边
∠A的邻边
B
A
C
∠A的对边
∠A的邻边
2.tan A的值越大,梯子越陡.对于山坡来说，正切对应的是坡度
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号（注意tanA不表示tan乘以A).
3.tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
1.在Rt△ABC中， ∠C=90o ，AC＝12，BC＝5，那么tan A等于（ ）
2.如图，下面四个梯子最陡的是（　　）
A　　　 　B 　　　　　C 　　　　　D
C.
B.
D.
A.
B
C
3.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是（ ）
A．5 米 B．10米 C．15米 D．10 米
【解析】∵BC:AC=1: ,
A
B
C
BC=5米，
∴AC=
A
4.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了（ ）
A． B．500 m
C． D．1 000 m
【解析】设升高了x m，由勾股定理得，x2+(2x)2=(1000)2,解得x=
A
5.如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（ ）
A.a·sinα B.a·tanα
C.a·cosα D.
【解析】在Rt△ABC中，tanα=
所以AB= a·tanα
B
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，则tan∠BCD= 　.
7. 如图，在Rt△ABC中，AC=2，BC=1，则tan A=　 .
8．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（　　）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
B
【规律方法】当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比值也随之确定；比值与三角形的大小无关，只与倾斜角的大小有关.
9．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（　　）
A
【解析】设小正方形的边长为1.取AB与格点的交点为D,AC与格点的交点为E，则
10.如图， 位于6×6的方格纸中，
则 ＝　　　.
A
B
C
＝
A
B
C
D
E
11.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
【解析】在Rt△AFG中，
∴
∴
∴
答：这幢教学楼的高度AB为
m.
在Rt△ACG中，