鲁教版（五四制）数学七年级下册 10.4 线段的垂直平分线教案

线段的垂直平分线
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2．能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
【教学重难点】
重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用。
难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明。
【教学方法】
观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法。
教学手段：多媒体。
【教学过程】
一、从学生原有的认知结构提出问题。
这节课，我们来研究线段的垂直平分线的尺规作图和性质。
师生共同研究形成概念。
（一）线段垂直平分线的性质。
1．猜想：我们看看上面我们所作的线段的垂直平分线有什么性质？
引导学生自主发现线段垂直平分线的性质。
2．想一想书本上面：
应先让学生自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表。这一思想方法应让学生理解。
3．符号语言：
∵P在线段AB的垂直平分线CD上，
∴PA=PB。
4．定理解释：
P为CD上的任意一点，只要P在CD上，总有PA=PB。
5．此定理应用于证明两条线段相等。
巩固练习：
（1）如图，已知直线AD是线段AB的垂直平分线，则AB= 。
（2）如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB=5，BD=4，则AC= ，CD= ，AD= 。
（3）如图，在△ABC中，AB=AC，∠AED=50°，则∠B的度数为 。
（二）线段垂直平分线的逆定理。
1．想一想书本。
因为这个命题不是“如果……那么……”的形式，所以学生说出或写出它的逆命题时可能会有一定的困难，帮助学生分析它的条件和结论，再写出其逆命题，最后应要求学生按证明的格式将证明过程书写出来。
猜想：我们说“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，那么，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上有什么性质？
引导学生自主发现线段垂直平分线的判定。
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2．符号语言。
∵PA=PB，
∴P在线段AB的垂直平分线上。
3．定理解释。
只要有PA=PB，则P为CD上的任意一点。
4．此定理应用于证明一点在某条线段的垂直平分线上。
巩固练习：
（1）已知点A和线段BC，且AB=AC，则点A在 。
（2）如果平面内的点C、D、E到线段AB的两端点的距离相等，则C、D、E均在线段AB的 。
（3）设是线段AB的垂直平分线，且CA=CB，则点C一定 。
（三）讲解例题。
例题：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。
求证：直线AO垂直平分线段BC。
证明：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
同理，点O在线段BC的垂直平分线上。
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）。
（四）尺规做线段的垂直平分线。
已知：线段AB（如图）。
求作：线段AB的垂直平分线。
作法：
1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D。
2．作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
（五）随堂练习。
1．书本随堂练习。
2．如图，已知AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AC于D。
（1）若△DBC的周长为24cm，则BC= cm；
（2）若BC=8cm，则△BCD的周长是 cm。
（3）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，AE=2cm，求△CDB的周长。
三、小结。
线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用。在前面学习中，有一些用三角形全等的知识来解决问题，现在可用线段垂直平分线的定理及其逆定理来求解会更方便些。
【第二课时】
教学内容 线段的垂直平分线（二）
教学目标 1．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规做出等腰三角形。知道为什么这样做图，提高熟练地使用直尺和圆规作图的技能。 2．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
教学重点 作已知线段的垂直平分线。
教学难点 理解三线共点的证明方法。
教学过程
教师活动 学生活动
一、线段垂直平分线的性质定理。 （一）让学生拿出教学准备好的纸片三角形，先折一条边作示范，然后让学生用折叠的方法找出每条边的垂直平分线。 （二）让学生观察：刚刚折出来的三条垂直平分线有什么关系？让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性的提示。 （三）让学生暂且把折纸放在一边，拿出圆规和直尺，画：—个任意的三角形，并利用所学知识做出三角形三条边的垂直平分线。要注意提醒个别学生作图的方法和步骤，强调作图的要求，培养学生的作图技能。 （四）让学生观察他们自己做出来的三条垂直平分线有什么性质，然后对照纸折的三条垂直平分线，看这个性质是不是它们共有的？换句话说，不管是什么样的三角形，它们的垂直平分线有没有什么共性？有的话，这个共性是什么？让学生提出猜想。 （五）让已经得出猜想的学生说出他们的猜想，并说明他们是怎么得到这个猜想的。在这时要注意表扬回答问题的学生，肯定他的发现，向学生强调：准确的图形由于直观地揭示了数学对象阶性质，因此有利于发现数学结论，而不准确的图形不利于发现数学结论，以此要求学生认真画图，养成好的习惯。 （六）肯定学生的发现；板书规范的表达；提问：对于这个猜想，你能用学过的知识来证明它吗？进一步渗透理性思考的意识，强调：只有经过证明的猜想才能确定其是否正确。 （七）启发学生思考：大家都知道两条直线交于一点，要证明三条直线相交于一点，是不是只要证明第三条直线也通过这两条直线的交点即可？也就是说，只要能证明其中两条直线的交点在另一条直线上即可。对这个证明。 （八）巡视之后，让基本可以证明的学生口述其证明思路，其他同学看他的证明是否正确、严谨。 （九）点评学生的回答，肯定其正确性，修正不规范的地方。让两位学生到黑板上画出图形，写出已知，求证并证明，其他学生在练习本上证明。让学生把思考落实到笔上。 （十）参照黑板上两位学生的证明，带学生把证明的思路再整理一遍，同时阐释三线共点的证明方法。，加深学生的认识，为以后的学习和使用打下基础。 二、两个作图的问题。 （一）让学生分组讨论：已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？让学生在讨论的过程中，思考并发表自己的见解，让学生体验合作学习，培养学生用数学地思考和表达的能力。分组时考虑到学生的搭配。 （二）让每组派一位代表说出小组的讨论结果，如果已经作出了图的话，用投影仪展示给全班同学看，让学生评判哪组的结果不但正确，而且漂亮。以此调动学生地积极性，体现学生的主体地位，向学生渗透追求数学结果正确、简洁、和谐的美的意识。 （三）赞赏地肯定所有同学的表现，表扬大家公认的作的好的组，让大家向他们学习，同时抓住其他小组的优点予以鼓励，保护他们对数学学习的热情。 （四）综合学生的讨论结果，给出问题的解答。同时，引导学生思考、讨论另外几个问题：已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用直尺和圆规作出等腰三角形吗？能作几个？它们之间有什么关系？ （五）让学生动手画出符合要求的三角形，训练他们的作图技能，要注意提醒学生正确使用直尺和圆规，规范作图。 （六）要求学生自己写出作法，同时能说明理由。 三、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。 （一）用投影仪出示题目：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。进一步训练学生的作图技能。应注意要求学生根据题意写出已知和求作、规范作图并能说明理由。 （二）简单讲评，总结本节内容，作业布置。 1．在老师示范之后，大多数学生都顺利地折出三角形三条边的垂直平分线。 2．仔细观察三角形的三条垂直平分线，思考它们之间的关系。在探索过程中，可能从边的角度、也可能从角的角度猜想三条直线的关系，有的也注意到了三线共点的特点。 3．拿出圆规和直尺，作一个任意的三角形，比较熟练地做出三角形三条边的垂直平分线。在作图的同时熟悉作已知线段垂直平分线的作法，作图技能得到锻炼，加深对作已知线段垂直平分线的作法的理解。 4．认真观察自己所作的三条垂直平分线，图作的准确的学生比较容易观察到三条线交于一点，再结合折的三条垂直平分线，又有类似的性质，因此提出猜想：三线交于一点。但图画得不太难确的学生，难以观察到这个结果。 5．听发言的同学的猜想和如何发现结论的过程，受到很大的启发。同时，也感受到一个准确的图形对于揭示数学对象的性质、发现数学结论有很大的帮助，在老师的要求下，对作图的必要性有了更深刻的认识。 6．听讲，记下三角形三条边的垂直平分线的性质定理，思考如何对三线共点的猜想进行证明。但因为是初次接触这样抽象的证明，不知从哪里开始证明。 7．受到老师的启发，一边画草图一边思考这样证明是否正确。在验证思路准确无误之后，思考怎么证明。联想到上节课线段垂直平分线性质定理及其逆定理的同学，可以找到思路方法要逐步引导，不可操之过急。 8．听同学口述证明的思路，并判断其是否正确，不能证明的学生受到启发，也许也可以给出证明。 9．两位同学到黑板上证明，其他同学在练习本上写出已知求证和证明。因为已经经过了分析，绝大多数同学可以顺利地写出来。 10．在老师讲解的同时规范自己的证明，对三线共点的证明方法有了比较好的理解和认识。
板书设计 1．线段垂直平分线的性质定理。 2．两个作图的问题。 3．已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。
教学反思 1．题目为进行作图的探索提供了空间，对于这个有挑战性的题目，学生很积极地思考、动手试验、展开讨论。讨论过程中，可能会有不同的意见，在商讨中加深对问题的理解。 2．非常积极地参与到评判讨论成果的活动中，对作为裁判者感到自豪，在观看其他组的成果时，既可以看到自己的不足，又加深了对问题的认识。由于老师对结论表达形式的要求，对于数学美有了一点感性的认识和体验，有了一点追求数学美的意识。 3．受到表扬和鼓励后，有更大的积极性投入到数学学习中。 4．因为这是刚才所讨论的问题的一个特例，所以可以比较容易得到解答：可以作出两个等腰三角形，它们分别位于底边的两侧，是全等的等腰三角形。 5．动手画出这两个三角形，比较熟练地使用直尺和圆规。 6．写出作法，说出理由。
课堂小结 1．经过刚才的探究和作图，很快地完成任务。经过训练，对于作图有了很好的掌握。 2．听讲，总结本节内容，记下作业。
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