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专题01 二次函数
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 列二次函数关系式
1．一个长方形的周长为30，则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为( )
A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x)
2．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
4．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型二 二次函数的识别
6．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
7．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
9．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于函数，以下四种说法中正确的是（ ）
A．当时，它是一次函数 B．当时，它是二次函数
C．当时，它是二次函数 D．以上说法都不对
考查题型三 根据二次函数的定义求未知数的值
11．是二次函数，则m的值是（ ）
A．m≠0 B．m＝±1 C．m＝1 D．m＝﹣1
12．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
13．二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
14．已知是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
15．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
查题型四 待定系数法求二次函数解析式
16．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
17．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
28．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（ ）
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0
19．已知抛物线过、和三点，那么、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
20．抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
随堂测试
1．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
2．已知是关于的二次函数，试确定的值．
3．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y=ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
14．y＝(m2－2m－3) x2＋(m－1)x＋m2是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？
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专题01 二次函数
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 列二次函数关系式
1．一个长方形的周长为30，则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为( )
A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x)
【详解】
∵长方形的周长为30，其中一边长为，
∴该长方形的另一边长为：，
∴该长方形的面积：．
故选A．
2．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
3．下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
【详解】
A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系;
B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系;
C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系;
D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系；
故选C.
4．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：圆的面积公式是，
原来的圆的面积=，
挖去的圆的面积=，
∴圆环面积．
故选：A．
5．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．
考查题型二 二次函数的识别
6．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【详解】
解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
7．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
①是二次函数；
②是二次函数；
③是二次函数；
④不是二次函数；
⑤不是二次函数；
⑥不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
8．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
【详解】
解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14πx2，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．
9．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
解：A、是一次函数，故A不符合题意；
B、是反比例函数，故B不符合题意，
C、a=0时不是二次函数，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
10．对于函数，以下四种说法中正确的是（ ）
A．当时，它是一次函数 B．当时，它是二次函数
C．当时，它是二次函数 D．以上说法都不对
【详解】
解：、当，时．它是一次函数，故此选不符合题意；
B、当，时．它是二次函数，故此选项不符合题意；
C、当，时，它是二次函数，故此选项不符合题意；
D、以上说法都不对，故此选项符合题意；
故选：．
考查题型三 根据二次函数的定义求未知数的值
11．是二次函数，则m的值是（ ）
A．m≠0 B．m＝±1 C．m＝1 D．m＝﹣1
【详解】
解：是二次函数，
且，
解得：m＝±1．
故选：B．
12．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【详解】
解：由题意得： ，则．
故选：A．
13．二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【详解】
把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：C．
14．已知是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【详解】
∵是关于的二次函数，
∴，
解得：；
故选B．
15．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
【详解】
由题意，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有=100种，
故选：B
考查题型四 待定系数法求二次函数解析式
16．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
【详解】
解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选D
17．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
【详解】
解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
28．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（ ）
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0
【详解】
将（0,0）代入y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1，得a=±1，∵a≠1，∴a=-1.
19．已知抛物线过、和三点，那么、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【详解】
，
解得，.
所以D选项是正确.
20．抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
【详解】
解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点，
∴，解方程组得，
∴抛物线解析式为，
当时，．
故选择A．
随堂测试
11．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【详解】
（1）由题意得，，解得m=；
（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.
2．已知是关于的二次函数，试确定的值．
【详解】
解：根据题意得，，解得，，
∵，即，
∴．
3．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y=ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
【详解】
解：函数y=ax2+bx+c中当a≠0，b和c为任意常数时该函数是二次函数，
当a=0，b≠0，c为任意常数时该函数是一次函数；
当a=0，b≠0，c=0时该函数是正比例函数．
14．y＝(m2－2m－3) x2＋(m－1)x＋m2是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？
【详解】
由题意得
m2－2m－3≠0，
解之得
m≠-1且m≠3.
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