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专题07 二次函数y=ax^2的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2的图象
1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
【详解】
∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，
∴二次函数的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故选B．
2．已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，
∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
3．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
【详解】
解：∵y＝3x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），
∴A、B都错误，C正确，
∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴D错误，
故选：C．
4．抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【详解】
解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），
∵||＜|1|＜|-3|，
∴抛物线开口最大．
故选A．
5．若抛物线经过点，则该抛物线一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：由抛物线可知抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线经过，
∴点关于y轴的对称点也在抛物线上，
∴它也经过点．
故选：B．
6．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【详解】
解：对称轴为直线：，
其中，，，
∴，
故选：C．
7．已知抛物线与的形状相同，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．1
【详解】
解：∵抛物线与的形状相同，
∴=．
故选C．
8．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3，
当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=，
观察图象可知：，
故选：A．
9．已知抛物线y=ax2经过点( 2， 4)，则a的值是（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
【详解】
解：将点（-2，-4）代入y=ax2中，
得：-4=4a，
∴a=-1，
故选：C．
10．下列关于函数说法中错误的有（ ）个．
①它的图象是抛物线；②对称轴是y轴；③顶点坐标是；④当时有最大值；⑤当时y随x增大而增大；⑥当时，图象开口向下
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
关于函数
①它的图象是抛物线，所以①正确；
②对称轴是y轴，所以②正确；
③顶点坐标是，所以③正确；
④当时有最小值，所以④不正确；
⑤当时，，y随x增大而增大，所以⑤不正确；
⑥当时，图象开口向下，所以⑥正确；
故不正确的有④⑤，共计2个．
故选B．
考查题型二 二次函数y=ax^2的性质
11．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C．D．
【详解】
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
12．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【详解】
解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．
13．定义新运算，例如，．则函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【详解】
当是开口朝上的过原点的二次函数图像
当是开口朝下的二次函数图像
D选项的图像符合题意
故选D
14．苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：由
可得：是的二次函数，且函数图像经过原点，图像的开口向上，
所以：错误，正确，错误，
故选：
15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．4π D．都不对
【详解】
解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴面积为：π×22=2π．
故选B．
16．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（ ）
A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1
【详解】
解：把(1,2)代入y=ax2得a=2，
把点(2,1)代入y=ax2得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：A．
17．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【详解】
解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．
18．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3，
当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=，
观察图象可知：，
故选：A．
19．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【详解】
∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，
∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，
故1=x2，
解得：x=±，
故A(，1)，C(﹣，1)，
∴AC=2，
故菱形OABC的面积是：ACOB=×2×2=2．
故选：B．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥2 B．≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或＜a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
【详解】
如图，
当抛物线经过点A时，
当抛物线经过点B时，
当抛物线经过点C时，
由二次函数图象的性质，分以下两种情况：
（1）当时，抛物线开口向上，且a越大，开口越小
则抛物线经过点A是临界位置
因此，时，抛物线必经过区域
（2）当时，抛物线开口向下，且a越大，开口越大
则抛物线经过点B是临界位置
因此，时，抛物线必经过区域
综上，a的取值范围为或
故选：D．
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【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2的图象
1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
2．已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
4．抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．若抛物线经过点，则该抛物线一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．已知抛物线与的形状相同，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．1
8．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线y=ax2经过点( 2， 4)，则a的值是（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
10．下列关于函数说法中错误的有（ ）个．
①它的图象是抛物线；②对称轴是y轴；③顶点坐标是；④当时有最大值；⑤当时y随x增大而增大；⑥当时，图象开口向下
A．1 B．2 C．3 D．4
考查题型二 二次函数y=ax^2的性质
11．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
13．定义新运算，例如，．则函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
14．苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．4π D．都不对
16．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（ ）
A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1
17．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
18．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥2 B．≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或＜a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
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