中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 二次函数y=ax^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2+k的性质
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：的对称轴为x=0，开口向上，y的最小值为4，顶点坐标为（0，4），
故选： B．
2．二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（ ）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
【详解】
解：∵y＝﹣x2﹣4，
∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，
∴抛物线经过第三，四象限，
故选：C．
3．将抛物线绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵的顶点坐标为，绕原点旋转180°，新的抛物线的顶点坐标为，且开口朝上，大小不变，即
∴旋转后抛物线的解析式为
故选D
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
【详解】
解：∵二次函数，
∴，解得：，
∴，
∴二次函数，
∵，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线，
∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
5．A（﹣2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝x2+2上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y2＞y1 D．无法判断
【详解】
∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴．
故选：A．
6．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
【详解】
解：∵，a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当时，函数的最大值是，
∴故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴故C错误；
∵ =，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴故D错误．
故选B．
7．函数与的图象的不同之处是（ ）
A．顶点 B．对称轴 C．开口方向 D．形状
【详解】
解：函数与
由，所以抛物线的开口方向，形状相同，
又对称轴都为轴，所以对称轴相同，
的顶点为：
的顶点为： 所以两条抛物线的顶点不同，
故A符合题意，B，C，D不符合题意.
故选A
8．无论m取何实数，关于x的二次函数的图象的顶点都（ ）
A．在抛物线上 B．在抛物线上
C．在抛物线上 D．在抛物线上
【详解】
∵关于x的二次函数，
∴顶点坐标为，
∴顶点在抛物线上；
故选A．
9．抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．函数有最小值
【详解】
解：抛物线y=-x2+3的开口向下，对称轴是y轴；
当x＞0时，y随x的增大而减小；
-，则函数有最大值．
综上，选项D不正确，符合题意，
故选：D．
10．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【详解】
解：二次函数．
开口向上，对称轴为，
当时，随增大而增大．
．
．即是的一次函数．
，
一次函数上升趋势．
．
有最小值，没有最大值．
故选：C．
考查题型二 二次函数y=ax^2+k的图象
11．如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴的图像分布在第一，第二，第四象限，
故选C．
12．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C．D．
【详解】
解：由的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
13．平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接AB，当抛物线与线段AB有公共点时，c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：把A（0，1）代入y＝x2+c得，c＝1；
把B（2，1）代入y＝x2+c得，1＝4+c，解得c＝﹣3，
由图象可知，当抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点时，c的取值范围为﹣3≤c≤1，
故选：B．
14．已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】
A.若，则，故本选项不符合题意；
B.若，则，故本选项不符合题意；
C.若，则，故本选项不符合题意；
D.若，则，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
15．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【详解】
解：若函数y=mx+n经过一二三象限，m＞0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口向上，对称轴x=-＞0，在y轴的右侧；
若函数y=mx+n经过一二四象限，m＜0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口向下，对称轴x=-＜0，在y轴的左侧；
故选：C．
16．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）
A．B． C．D．
【详解】
解：A选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；
B选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；
C选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；
D选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．
17．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【详解】
解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
18．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
解：由题意得 ，
解得 ，
所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0），
∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M＝y1；故此选项正确；
②当1＞x＞0时，y1＞y2，M＝y2，直线y2＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误；
③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；
④当﹣1＜x＜0，M＝时，即y1＝﹣x2+1＝，
解得：x1＝﹣，x2＝（不合题意舍去），
当0＜x＜1，M＝时，即y2＝﹣x+1＝，
解得：x＝，
故使得M＝的值是﹣或，此选项正确．
故正确的有3个．
故选：C．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 二次函数y=ax^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2+k的性质
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（ ）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
3．将抛物线绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
5．A（﹣2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝x2+2上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y2＞y1 D．无法判断
6．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
7．函数与的图象的不同之处是（ ）
A．顶点 B．对称轴 C．开口方向 D．形状
8．无论m取何实数，关于x的二次函数的图象的顶点都（ ）
A．在抛物线上 B．在抛物线上
C．在抛物线上 D．在抛物线上
9．抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．函数有最小值
10．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
考查题型二 二次函数y=ax^2+k的图象
11．如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
12．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C．D．
13．平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接AB，当抛物线与线段AB有公共点时，c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
16．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）
A．B． C．D．
17．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
18．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
