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专题10 二次函数y=a（x-h）^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数a（x-h）^2+k的性质
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
【详解】
解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵
∴此函数的顶点坐标是（1，2）
故选：B
3．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
【详解】
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），
∴当x=2时，y有最大值为5；
∴选项A，B，D错误，C正确，
故选：C．
4．点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
5．已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【详解】
解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
6．如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【详解】
解：当点D横坐标为6时，抛物线顶点为，
∴对称轴为直线，；
当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
∴点C的横坐标最小值为，
故选C．
7．已知二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为6，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由，可得，
∵m＜0，
∴当x=-1时，函数有最大值，且，
在范围内，函数先递增再递减，
则：当x=-3时，y=3+6m，
当x=2时，y=3+16m，
∵m＜0，
∴函数的最小值为：，
∵，
∴，
∴解得，
故选：A．
8．关于二次函数的图象及性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当时，y取得最小值，且最小值为
C．顶点坐标为 D．当时，y的值随x值的增大而增大
【详解】
∵二次函数解析式为：，
∴该二次函数图象对称轴是直线，故A不符合题意；
当时，y取得最小值，且最小值为，故B符合题意；
顶点坐标为，故C不符合题意；
∵3>0，
∴该二次函数图象开口向上，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，故D不符合题意．
故选B．
9．将二次函数y＝x2﹣14x+13化为y＝(x﹣h)2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝(x+7)2+49 B．y＝(x+7)2﹣36
C．y＝(x﹣7)2+49 D．y＝(x﹣7)2﹣36
【详解】
解：y＝x2﹣14x+13＝x2﹣14x+49-49+13＝（x﹣7）2﹣36．
故选：D．
10．抛物线的顶点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】
抛物线的顶点为
若，则或均成立，
此时，顶点在第一象限或第四象限
若，则必然成立，且必然不成立
此时，顶点在第三象限
综上，顶点一定不在第二象限
故选：B．
考查题型二 二次函数a（x-h）^2+k的图象
11．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【详解】
由可得，函数图象的顶点坐标为（1,1），
由图可知，函数的顶点在线段CD上，
∴C、D的纵坐标为1，D点的横坐标大于1，
∵由图可知B、D的横坐标相等，
∴B点的横坐标也大于1，
∴坐标原点只有可能是点A，
故选：A．
12．如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【详解】
∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，
∴有，且显然a≠0，
∴a-b=1，c=-1，
将抛物线配成顶点式：，
∴顶点坐标为：，
∵抛物线顶点坐标在第四象限，
∴，
∵a-b=1，
∴，
解得：，
∵P=2a-b，a-b=1，
∴P=2a-b=a+a-b=a+1，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
13．二次函数的大致图象是( )
A．B．C．D
【详解】
解：∵二次函数，
则可得二次函数的顶点是： ，对称轴是 ，
又∵ ，
∴图像开口向上，
所以选项B图像符合．
故选B．
14．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【详解】
解：由二次函数图像可知，开口向上，
∴a>0，
∵二次函数的顶点坐标(1,-c)在第四象限，
∴c>0，
∴经过第一、二、三象限，
故选：A．
15．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是（ ）
A．﹣4≤y＜5 B．﹣4＜y＜5 C．﹣3≤y≤5 D．﹣4＜y＜﹣3
【详解】
解：∵，
∴该二次函数图象的顶点坐标为，图象开口向上，
∴当时，该二次函数有最小值-4，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．
故选：A
16．二次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由二次函数可得：开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
故选C．
17．已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【详解】
∵抛物线开口向上，∴a＞0，①是真命题；
对称轴为直线x=1，②是真命题；
当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；
顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；
∴真命题的概率．
故选C．
18．二次函数的图象大致是
A．B．C．D．
【详解】
在y=（x+1）2-2中由a=1＞0知抛物线的开口向上，故A错误；
其对称轴为直线x=-1，在y轴的左侧，故B错误；
由y=（x+1）2-2=x2+2x-1知抛物线与y轴的交点为（0，-1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选C．
19．如图，已知抛物线与轴交于两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【详解】
如图，连接BG，
由题意可得：A(1,0)，B(9,0)，D是AB的中点，
AB=8，
BD=4，
=，
C(5,3)，
CD=3，
由D、P分别是AB、AG的中点可得：DP是的中位线，
DP=BG，
要求DP的最大值，即要求BG的最大值，
当G、C、B三点共线时，BG最大，
BC=，
BG=5+2=7，
DP=BG=．
故选：C．
20．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是( )
A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②
【详解】
抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3），
∴3=a（1-4）2-3，
解得：a=，故①正确；
过点E作EF⊥AC于点F，
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，E（4，-3），
∴AF=3，EF=6，
∴AE=，AC=2AF=6，
∴AC≠AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）2+1，
解得：x1=1，x2=-3，
故B（-3，3），D（-1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1=（x-4）2-3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
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专题10 二次函数y=a（x-h）^2+k的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数a（x-h）^2+k的性质
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
4．点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
6．如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为6，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
8．关于二次函数的图象及性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当时，y取得最小值，且最小值为
C．顶点坐标为 D．当时，y的值随x值的增大而增大
9．将二次函数y＝x2﹣14x+13化为y＝(x﹣h)2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝(x+7)2+49 B．y＝(x+7)2﹣36
C．y＝(x﹣7)2+49 D．y＝(x﹣7)2﹣36
10．抛物线的顶点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考查题型二 二次函数a（x-h）^2+k的图象
11．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
12．如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
13．二次函数的大致图象是( )
A．B．C．D
14．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
15．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是（ ）
A．﹣4≤y＜5 B．﹣4＜y＜5 C．﹣3≤y≤5 D．﹣4＜y＜﹣3
16．二次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（ ）
A． B． C． D．1
18．二次函数的图象大致是
A．B．C．D．
19．如图，已知抛物线与轴交于两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
20．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是( )
A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②
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