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专题06 二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2+bx+c性质
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
7．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．二次函数的图像如图，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
考查题型二 二次函数y=ax^2+bx+c的图象
10．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
11．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（ ）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1
12．二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象过A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(0，y3)，D(3，y4)四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＜0，则y3y4＞0 B．若y1y3＜0，则y2y4＜0
C．若y2y4＞0，则y1y3＞0 D．若y3y4＞0，则y1y2＞0
13．若函数y=ax+bc的图象如图所示，则有可能是函数y=ax2+bx+c的大致图象的是（ ）
A．B．C． D．
14．已知二次函数，且，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
15．如表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝﹣3（a≠0）的一个近似根是（ ）
x ﹣1.1 ﹣1.2 ﹣1.3 ﹣1.4
y＝ax2+bx+c ﹣2.75 ﹣2.86 ﹣3.13 ﹣3.28
A．﹣1.1 B．﹣1.2 C．﹣1.3 D．﹣1.4
16．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是( )
A． B． C． D．
18．已知抛物线过点A（―1，m）、B（1，m）和C（2，m―1），则其大致图像如( )
A． B． C． D．
考查题型三 二次函数y=ax^2+bx+c化顶点式
17．二次函数y= x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2
18．小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．12 B．11 C．6 D．3
19．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
4．将抛物线y＝2x2﹣4x+5绕其顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+4x+1 B．y＝﹣2x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝﹣2x2+4x+5
考查题型四 二次函数的对称性
20．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是( )
A．a<0 B．b2－4ac<0 C．当－10 D．－=1
21．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
22．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
23．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1
考查题型五 二次函数图象的平移
24．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
25．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2B．y=﹣2（x+1）2﹣2C．y=﹣2（x﹣1）2+2D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
26．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
27．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
28．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．
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专题06 二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 二次函数y=ax^2+bx+c性质
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
【详解】
∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选D．
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
①∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，不符合题意；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
【详解】
由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误.
故选D
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【详解】
解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
5．已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线，
∴b=2a，
∴b<0，故A不符合题意；
根据对称性可知，图象经过，
∴图象经过点，
∴c>0，故B不符合题意；
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；
将将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．
故选：D．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
【详解】
解：根据图像知，当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，
，
故A选项结论正确，不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为，
，
，
故B选项结论正确，不符合题意；
根据图像可知是关于的方程的一个根，
故选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图像上，
当时，，
故D选项结论不正确，符合题意，
故选：D．
7．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
8．二次函数的图像如图，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵ 函数图象如下：
∴a＞0，c＜0，，
当x=-1时，
a-b+c=0，
当x=-2时，
，
∴abc＞0，2a+b=0，c=b-a=-2a-a=-3a，，
故A、B、C都是错误的，D是正确的，
故选D．
9．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【详解】
解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
考查题型二 二次函数y=ax^2+bx+c的图象
10．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【详解】
解：∵a=2，b>0，c<0，
∴-<0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，
故选：B．
11．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（ ）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1
【详解】
解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意；
C．∵y=-x2-2x+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意；
D．∵y=-x2+2x+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意；
故选：D．
12．二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象过A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(0，y3)，D(3，y4)四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＜0，则y3y4＞0 B．若y1y3＜0，则y2y4＜0
C．若y2y4＞0，则y1y3＞0 D．若y3y4＞0，则y1y2＞0
【详解】
解：如图，由题意对称轴为直线x＝﹣1，
观察图象可知，y3＞y2＞y1＞y4，
若y1y2＜0，则y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y3＜0，则y2y4＞0或y2y4＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＞0，则y1y3＜0或y1y3＞0，选项C不符合题意，
若y3y4＞0，则y1y2＞0，选项D符合题意，
故选：D．
13．若函数y=ax+bc的图象如图所示，则有可能是函数y=ax2+bx+c的大致图象的是（ ）
A．B．C． D．
【详解】
解：根据题意，则有
，，
∴二次函数的图像开口向上，排除A、C；
选项B中，，，，则，符合题意；故排除D；
故选：B．
14．已知二次函数，且，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
【详解】
解：∵二次函数中，，，
∴二次函数的解析式为，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴二次函数的顶点坐标为(0，c)，在y轴负半轴，
∴二次函数的图象 经过三、四象限；
故选A．
15．如表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝﹣3（a≠0）的一个近似根是（ ）
x ﹣1.1 ﹣1.2 ﹣1.3 ﹣1.4
y＝ax2+bx+c ﹣2.75 ﹣2.86 ﹣3.13 ﹣3.28
A．﹣1.1 B．﹣1.2 C．﹣1.3 D．﹣1.4
【详解】
根据表格得x=-1.2时，y=-2.86,x=-1.3时，y=-3.13,
因为-3.13更接近-3，故ax2+bx+c＝﹣3（a≠0）的一个近似根是x=-1.3
16．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是( )
A． B． C． D．
【详解】
∵y＝ax2＋bx+c中c=0
∴当x=0时，y=0,故图像过（0,0），故选D.
18．已知抛物线过点A（―1，m）、B（1，m）和C（2，m―1），则其大致图像如( )
A． B． C． D．
【详解】
解：∵抛物线过点A（-1，m）、B（1，m），
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴可排除A、C．
∵1＜2，m＞m-1，
∴在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∴B错误，D正确．
故选D．
考查题型三 二次函数y=ax^2+bx+c化顶点式
17．二次函数y= x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2
【详解】
解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，
∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．
故选：A．
18．小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．12 B．11 C．6 D．3
【详解】
∵，
∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴CB=CA=2，
∴B点的横坐标为：2+1=3，
代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标，
∴当x=3时，，
∴B点纵坐标为14，
∵D点的纵坐标为6，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+4=12，
则杯子的高度为12，
故选：A．
19．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
解：
，
故选：D.
4．将抛物线y＝2x2﹣4x+5绕其顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+4x+1 B．y＝﹣2x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝﹣2x2+4x+5
【详解】
解：y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x+1）+3＝2（x﹣1）2+3，
将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
即：y＝﹣2x2+4x+1．
故选：A．
考查题型四 二次函数的对称性
20．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是( )
A．a<0 B．b2－4ac<0 C．当－10 D．－=1
【详解】
根据二次函数的图象和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴B选项错误，
由图象可知，当－1∴C选项错误，
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为
即－＝1，
∴D选项正确，
故选D.
21．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
【详解】
解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，
∵其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，
故选C．
22．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
23．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1
【详解】
解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是 3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为( 3,0),(1,0).
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x== 1.
故选C.
考查题型五 二次函数图象的平移
24．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
故选A．
25．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2B．y=﹣2（x+1）2﹣2C．y=﹣2（x﹣1）2+2D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
【详解】
解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．
26．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
解：若将轴向上平移2个单位长度，
相当于将函数图像向下平移2个单位长度，
将轴向左平移3个单位长度，
相当于将函数图像向右平移3个单位长度，
则平移以后的函数解析式为：
化简得：，
故选：C．
27．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【详解】
解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象，
将的图象向下平移3个单位得到的函数图象，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
28．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：，即抛物线的顶点坐标为，
把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，
所以平移后得到的抛物线解析式为．故选D．
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