第21章 一元二次方程 同步讲义（无答案，pdf版）

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第 21 章 一元二次方程 ................................................................................................................................................................................. 2
21.1 一元二次方程 .................................................................................................................................................................................. 2
21.2 解一元二次方程的 ......................................................................................................................................................................... 4
21.2.1 配方法 ..................................................................................................................................................................................... 4
21.2.2 公式法 ..................................................................................................................................................................................... 6
21.2.3 因式分解法 ........................................................................................................................................................................... 8
21.2.4 根与系数的关系 .................................................................................................................................................................. 8
21.3 实际问题与一元二次方程 .......................................................................................................................................................... 10
1、病毒传播问题 ........................................................................................................................................................................... 10
2、树干问题 .................................................................................................................................................................................... 10
3、比赛问题 .................................................................................................................................................................................... 10
4、增长率、降价率问题 ............................................................................................................................................................. 11
5、几何面积问题 ........................................................................................................................................................................... 11
6、利润问题 .................................................................................................................................................................................... 13
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第 21 章 一元二次方程
引入：复习讲过的方程及方程的特点引入，例如：必须都是整式方程
①一元一次方程：ax+b=0（a≠0，a，b 为常数）——一个未知数，且未知数的最高次数为 1，有常数项（0
次项）
②二元一次方程：ax+by+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）——两个未知数，每个未知数的最高次数为 1，有常
数项（0 次项）
21.1 一元二次方程
1、一元二次方程的定义：像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二
次）的方程，叫做一元二次方程．
2、一般式：一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，经过整理，
都能化成如下形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2 是二次项，a是二次
项系数；bx是一次项，+b是一次项系数；+c是常数项。
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
拓展：
一元二次方程的特殊形式：ax2 + bx = 0(a 0)；ax2 + c = 0(a 0)；ax 2 = 0(a 0)
3、一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数最高次数是 2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能
整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（a≠0）
4、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例 1】考试常考的题型
下面关于 x的方程中：
2 1①ax +bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3= ；④x2-y=0；④（x+1）2= x2-1．
x
一元二次方程的个数是 ——会识别一元二次方程：一看未知数的种类，二看系数，三看指数，四
看化简，五看模样
【例 2】考试常考的题型
①已知关于 x 的方程 (a 2)x2 ax =1是一元二次方程，求 a 的取值范围。——看二次项的系数来确定取值范围
a
②已知关于 x 的方程5x ax =1是一元二次方程，求 a 的值。——由未知数的指数求值
③已知关于 x 的方程 a(a 2)x ax =1是一元二次方程，求 a 的值。——由系数和指数同时确定未知数的值
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④已知关于 x 的方程 (a 2)x2 ax = x2 1是一元二次方程，求 a 的取值范围。——已有二次项，先合并同类项，再
求取值范围
a 1
⑤已知关于 x 的方程 2x ax = x2 1是一元二次方程，求 a 的值。——已有二次项，分类讨论：含有未知数的项
可以是二次项，可以是一次项，也可以是常数项
⑥已知关于 x 的方程 a 1(a 2)x ax = x2 1是一元二次方程，求 a 的取值范围。——已有二次项，分类讨论：含有
未知数的项可以是二次项（需合并才能求值），可以是一次项，也可以是常数项
【例 3】学生必须会的题型，为一元二次方程的解法和二次函数做铺垫
把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）2y2 = y 7——直接移项整理
2
（2） 2 +1 2x + x = 0 ——加法交换律，且二次项系数需为正数
（3） (x +5)(x 5) = 0 ——平方差公式展开整理
（4） (5y +1)(2y 1) = y2 5——利用多项式×多项式的运算方法整理
2
【例 4】若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x -mx+8=0 的一个解．则 m 的值是（ ）——方程解的概念
A．6 B．5 C．2 D．-6
【例 5】若 a 是方程 2x2-x-3=0 的一个解，则 6a2-3a 的值为（ ）——已知方程的解，整体带入求值
A．3 B．-3 C．9 D．-9
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21.2 解一元二次方程的
引入：利用二次根式引出方程的解法与根的个数
21.2.1 配方法
一、直接开平方法
2
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 x = p 的形式，那么就有：
（1）当 p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1 = p ， x2 = p
（2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0
（3）当 p＜0 时，方程无实数根
例如：
x2 = 5 2 (x +3) = 5 x
2 4x + 4 = 0
x=±5 2x+3= 5 (x 2) = 0
x1=5，x2=-5
x1 = 3+ 5 ， x2 = 3 5 x 1 = x2 = 2
二、配方法
2
1、一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + n) = p 的形式，那么就有：
（1）当 p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1 = n p ， x2 = n + p
（2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = n
（3）当 p＜0 时，方程无实数根
2 2 2
2、配方法的理论根据是完全平方公式a 2ab +b = (a b) ，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有
2
x2 2xb+b2 = (x b) 。
3、一般步骤：
①先将已知方程化为一般形式；
②化二次项系数为 1；
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③常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
④变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x = p q ；
⑤如果 q＜0，方程无实根．
例如：
x2 8x +1= 0 ax2 + bx + c = 0 2（a≠0，b 4ac 0 ）
x2 8x = 1 ax2 + bx = c ——移项
x2 8x +16 = 1+16 2 b cx + x = ——二次项系数化 1
a a
2
(x 4) =15
2 2
2 b b c b x + x + = + ——补项（左右两边x 4 = 15 a 2a a 2a
同时加上二次项系数一半的平方）
x1 = 4+ 15 ， x2 = 4 15
2
b b
2 4ac
x + = ——直接开平方
2a 4a
2

b b2 4ac
x + =
2a 2a
b + b2 4ac b b2 4ac
x1 = ， x2 =
2a 2a
【例 1】用直接开平方法解下列方程——学生必会的题型，注意答案的正负
（1）3x2 9 = 0 （2） (x + 2)2 3 = 0 （3）2(3x +1)2 = 18
【例 2】先配方，再开平方解下列方程——学生必会的题型，注意需要添加的常数项的确定
1 1
（1） x2 4x 4 = 0 （2）2y2 y 1 = 0 (4) x2 + x = 0
6 3
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21.2.2 公式法
2
1、一当△≥0 时，一元二次方程ax + bx + c = 0（a≠0）的实数根可写为：
b b2 4ac
b2x= （ 4ac≥0 ）
2a
2
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax + bx + c = 0（a≠0）求根公式。
2、解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次
方程的方法叫做公式法。
例如：
2x2 2 2x +1= 0 x2
1
3x = 0
4
a=2，b=- 2 2 ，c=1 1
a=1，b= 3 ，c=
4
2
△= b 4ac =8-8=0
2
△= b 4ac =3+1=4
b 2
x1 = x2 = =
2a 2 b b
2 4ac 3 2
x = =
2a 2
3 + 2 3 2
x1 = ， x1 =
2 2
2、根的判别式
2 2
根的判别式：一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）中，b 4ac ax
2
叫做一元二次方程 + bx + c = 0（a≠0）的根
2
的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示，即 = b 4ac
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【例 1】用公式法解下列方程——学生必会的题型，通用解法，熟记公式，注意解题步骤：①整理成一般式；②确
定 abc 的值；③计算△的数值；④带入公式
（1） x2 3x + 2 = 0 （2）2x 1= 2x2 （3） (x +1)2 = 3x
【例 2】考试常考题型，学生必须会做（中考的模拟考试出现过的题型，以选择题为主）
不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。——由根的判别式判断根的个数
2 2 2 2（1） 2x 6x =1 （2）8y(2y 5) = 25 （3）(a +1)x 2ax + (a + 4) = 0（x 是未知数）
【例 3】考试常考题型，学生必须会做（中考的模拟考试也比较常见的题型，以选择题为主）
如果关于 x的一元二次方程 kx2 6x + 9 = 0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ）——根据判别式
求取值范围
A． k 1 B． k 0 C． k 1且k 0 D． k 1
【例 4】考试常考题型，学生必须会做
已知关于 x 的方程 x2 (k + 2)x + 2k = 0——综合应用
（1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根；——计算△，并配方
（2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a=1，另两边长 b、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．——与几何结
合
【例 5】考试常考题型，学生必须会做
已知关于 的方程 (m2 m)x2x 2mx +1= 0 有两个不相等的实数根．综合应用
⑴求m 的取值范围；——根据判别式求取值范围
2a2 +1
⑵若m 为整数，且 2m 3， a是上述方程的一个根，求代数式 2a 3a + 3的值．——化简求值
4
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21.2.3 因式分解法
我们可以发现，上有些方程的解法不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的
形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方
法。
例如：
x2 2 3x = 0 x2 x 2 = 0
（x-2）（x+1）=0
x (x 2 3) = 0
x1=2，x2=-1
x1 = 0, x2 = 2 3
【例 6】用因式分解法解下列方程——学生必会的题型，技巧性解法
（1）2x2 3x = 0 ——常数项为 0 的提取公因式法
2
（2） t 2 2t + 2 = 0——完全平方公式
（ 23） x x 90 = 0——二次项系数为 1的十字相乘法
（4）2x2 + x 10 = 0——二次项系数不为 1的十字相乘法
(5)3x(x 2) = 2x 4——整体带入的提取公因式法
(6) (2x 4)2 = (x +5)2——整体带入的平方差公式解题
21.2.4 根与系数的关系
b c
如果方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1x2 = 。
a a
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商
的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件 0
【例 1】考试常考题型，学生必须会做（中考的模拟考试也比较常见的题型，以选择题为主）
2
已知 m 与 n 是方程2x -6x+3=0 的两根。
（1）填空：m+n= ， mn= .——基本题型
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1 1
（2）下列代数式的值：① + ；②m2 + n2；③ (m +1)(n +1)；④ (m n)2——利用完全平方公式推导
m n
【例 2】考试常考题型，学生必须会做（中考的模拟考试也比较常见的题型，以选择题为主）
若方程 x2 4x + c = 0 的一个根为 3，则方程的另一根为_______，c=______．——利用韦达定理巧解题型
【例 3】考试常考题型，学生必须会做
1
已知关于 x 的一元二次方程 x2 (m + 2)x + m2 2 = 0．——根的判别式与韦达定理综合题
4
（1）当 m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根 x1、x2 满足 x
2
1 + x
2 =18，求 m 的值． 2
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21.3 实际问题与一元二次方程
1、病毒传播问题
2
需熟记公式（中考的模拟考试也比较常见的题型，以选择题为主）（x+1） =总人数
【例 1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人。
【例 2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染，请你用学过的
知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会
超过 700 台？
2、树干问题
需熟记公式（中考的模拟考试也比较常见的题型，以选择题为主）1+x+ 2=总数
【例】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是
91，设每个支干长出 x 个小分支，则 x 满足的关系式为（ ）
A. x+ 2=91 B. 1+ 2=91 C. 1+x+ 2=91 D.1+x(x-1) =91
3、比赛问题
需熟记公式，判断题型——单循环还是双循环比赛（中考的模拟考试也比较常见的题型，以选择题为主）
x(x 1)
单循环 =总场次，双循环 x（x-1）=总场次
2
【例 1】某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了 2070 长
相片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）
x(x 1)
A.x(x-1)=2070 B.x(x+1)=2070 C.2x(x+1)=2070 D. =207
2
【例 2】某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手 190 次，求参加会议共有多少人？
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4、增长率、降价率问题
2
需熟记公式，注意出题陷阱（中考的模拟考试也比较常见的题型，以选择题为主）a（x±1） =b
【例 1】两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元。设甲种药品成本的
年平均下降率为 x，则 x 满足的方程（ ）——降价率问题
A.5000（1-x）-(1 )2=3000 B.5000（1-x2）=3000
C.5000 (1 )2=3000 D.5000 (1 )2=2000
【例 2】恒利商厦十月份的销售额为 160 万元，商厦从十月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月
份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.——增长率问题
【例 3】恒利商厦十月份的销售额为 160 万元，商厦从十月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，到十二
月份，总销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.——增长率问题，注意最后的数据是总数
【例 4】恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经
营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.——注意第一个数
据不是公式中的原始数据
5、几何面积问题
（1）围栏问题
考试常考题型，①学生必须掌握设未知数的技巧，②此题由多种变换方式，③与二次函数的应用题相关。
【例】如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长 25 米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为 40 米，
若要围成的养鸡场的面积为 180 平方米，求养鸡场的宽各为多少米，设与墙平行的一边长为 x米。
（1）填空：（用含 x的代数式表示）另一边长为___米；
（2）列出方程，并求出问题的解。
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（2）几何图形问题
注意 1解题技巧与出题陷阱
【例】如图，在长为 100米，宽为 80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，
2
要使绿化面积为 7644米 ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x米，则可列方程为（ ）
【例 2】如图，有一块矩形铁皮，长 100cm，宽 50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部
分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去边长
为多大的正方形？
【例 3】动点面积问题，拔高题
如图 4 所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移
动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.
（1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为 8 平方厘米？
（2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出
运动的时间；若不存在，说明理由.
2 2 2 2
解：因为∠C＝90°，所以 AB＝ AC + BC ＝ 6 +8 ＝10（cm）.
（1）设 x 2s 后，可使△PCQ 的面积为 8cm ，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
1 2
则根据题意，得 ·(6－x)·2x＝8.整理，得 x －6x+8＝0，解这个方程，得 x1＝2，x2＝4.
2
所以 P 2、Q 同时出发，2s 或 4s 后可使△PCQ 的面积为 8cm .
（2）设点 P 出发 x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.
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1 1 1 2
则根据题意，得 (6－x)·2x＝ × ×6×8.整理，得 x －6x+12＝0.
2 2 2
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻.
6、利润问题
计算结果有两个时，注意答案的取舍，即注意减少库存、让顾客受惠等字样
【例】某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克。经市场调查发现，在进货
价不变的情况下。若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商场要保证每天盈利 6000 元，同
时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（1）设每千克应涨价 x元，根据问题中的数量关系，用含 x的代数式填表：
每天销售量（千
每千克盈利（元） 每天盈利（元）
克）
涨价前 10 500 5000
涨价后 6000
（2）列出方程，并求出问题的解。
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