第22章 二次函数 同步讲义（无答案，pdf版）

目录
第 22 章 二次函数 .......................................................................................................................................................................................... 2
22.1 二次函数的图像和性质 ................................................................................................................................................................. 2
22.1.1 二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2
2
22.1.2 二次函数 y=ax 的图像和性质 ........................................................................................................................................ 3
2
22.1.3 二次函数 y=a（x-h） +k 的图像和性质 .................................................................................................................... 3
2
22.1.4 二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 .......................................................................................................................... 3
22.2 二次函数与一元二次方程 ............................................................................................................................................................ 9
一、二次函数与一元二次方程 ................................................................................................................................................... 9
二、二次函数与 a、b、c 的符号 ............................................................................................................................................. 12
（一）a、b、c 符号的判断 ....................................................................................................................................................... 12
（二）b2 4ac 符号的判断 ...................................................................................................................................................... 13
（三）2a+b 与 2a-b 符号判断 ................................................................................................................................................. 13
（四）常见 6 个 a、b、c 关系式符号的判断 ...................................................................................................................... 14
（五）其他代数式的判断 ........................................................................................................................................................... 14
22.3 实际应用 ........................................................................................................................................................................................... 17
（一）面积最值 ............................................................................................................................................................................. 17
（二）销售问题 ............................................................................................................................................................................. 18
（三）拱桥模型 ............................................................................................................................................................................. 19
综合大题 .................................................................................................................................................................................................... 20
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第 22 章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
1、二次函数的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c（ a，b，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2、二次函数 y = ax2 + bx + c的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式， x的最高次数是 2．
⑵ a，b，c是常数， a是二次项系数，且不为 0，b 是一次项系数， c 是常数项．
（3）能转化成 y = ax2 + bx + c
（4）整式
【例 1】观察：① y = 6x2 ；② y = 3x2 +5；③y＝200x2＋400x＋200；
1 2
④ y = x3 2x； 2 2 ⑤ y = x +3； ⑥ y = (x +1) x ．
x
这六个式子中二次函数有 。（只填序号）——会识别二次函数：一看指数，二看系数，三看模样
【例 2】在判断时，注意符号问题
写出上述三个例子中的 a、b、c 的值。——确定 a、b、c 的值，为后续的知识点做铺垫，再讲解时可对比一元二次
方程讲解
2
(1) y = 3x x a＝______，b＝______，c＝______．——常数项为 0，二次项位置改变
(2)y＝x2 a＝______，b＝______，c＝______．——一次项系数和常数项为 0，二次项系数为 1
1
(3) y = x2 + 5x 10 a＝______，b＝______，c＝______．——每一项都存在
2
1
(4) y = 6 x2 a＝______，b＝______，c＝______．——一次项系数为 0，二次项位置改变
3
【例 3】考试常见题型
m2 2m+2
已知函数 y＝m x ＋(m－2)x．——由系数和指数确定未知数的值
(1)若它是一次函数，则 m＝______，函数的解析式是______，
(2)若它是二次函数，则 m＝______，函数的解析式是______。
【例 4】当 x=4 时，求下列函数值。——给出 x 的值，求 y 的值，为求点的坐标做准备
y = 3x x2(1) (2)y＝x2
1
(3) y = x2
1
+ 5x 10 (4) y = 6 x
2
2 3
【例 5】求出下列相应的 x 的值：——给出 y 值求 x 的值，为求函数与 x 轴的交点坐标和求普通的点的坐标做准备
1
y = x2 + 5x 10
当 y=0 时，求函数 2 中 x 的值。——图像与 x 轴的交点坐标
页 2
1
y = 6 x2 中 x 的值。——图像上任意点的坐标
当 y=7 时，求函数 3
22.1.2 二次函数 y=ax2的图像和性质
22.1.3 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图像和性质
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
注意：在讲 y = ax2 的图像和性质时，必须让学生实际动手画图，对比一次函数图像和性质进行总结归纳，每一个
二次函数的题型基本上都差不多，所以在讲第一个函数的图像和性质时，要慢讲，打好基础，后面的就好讲了。
（一）二次函数的图像和性质
函数 开 口 图像 顶点坐标 对称轴 最值 增减性
方向
a＞0 （0，0） y 轴或 当 x=0 时，y 的 当 x＞0 时，y 随 x 的增大
y = ax2
直 线 最小值=0 而增大；当 x＜0 时，y 随 x
x=0 的增大而减小。
a＜0 （0，0） y 轴或 当 x=0 时，y 的 当 x＞0 时，y 随 x 的增大
直 线 最大值=0 而减小；当 x＜0 时，y 随 x
x=0 的增大而增大。
a＞0 （0，k） y 轴或 当 x=0 时，y 的 当 x＞0 时，y 随 x 的增大
y = ax2 + k
直 线 最小值=k 而增大；当 x＜0 时，y 随 x
x=0 的增大而减小。
a＜0 （0，k） y 轴或 当 x=0 时，y 的 当 x＞0 时，y 随 x 的增大
直 线 最大值=k 而减小；当 x＜0 时，y 随 x
x=0 的增大而增大。
2 a＞0 （h，0） 直 线 当 x=h 时，y 的 当 x＞h 时，y 随 x 的增大
y = a (x h)
x=h 最小值=0 而增大；当 x＜h 时，y 随 x
的增大而减小。
a＜0 （h，0） 直 线 当 x=h 时，y 的 当 x＞h 时，y 随 x 的增大
x=h 最大值=0 而减小；当 x＜h 时，y 随 x
的增大而增大。
2 a＞0 （h，k） 直 线 当=h 时，y 的 当 x＞h 时，y 随 x 的增大
y = a (x h) + k
x=h 最小值=k 而增大；当 x＜h 时，y 随 x
的增大而减小。
a＜0 （h，k） 直 线 当 x=h 时，y 的 当 x＞h 时，y 随 x 的增大
x=h 最大值=k 而减小；当 x＜0 时，y 随 x
的增大而增大。
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a＞0 2 直 线 b b
y = ax2 +bx + c b 4ac b 当 x= 时， 当 x＞ 时，y 随 x 的增
, x= 2a 2a
2a 4a b y 的最小值= b
大而增大；当 x＜ 时，
2a 2 2a4ac b
y 随 x 的增大而减小。
4a
a＜0
b 4ac b2
直 线 b b
当 x= 时， 当 x＞ 时，y 随 x 的增
, x= 2a 2a
2a 4a b y 的最大值= b
大而减小；当 x＜ 时，
2a 2 2a4ac b
y 随 x 的增大而增大。
4a
（二）二次函数的平移
2
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y = a(x h) + k ，确定其顶点坐标 (h，k )；
⑵保持抛物线 y = ax2 的形状不变，将其顶点平移到 (h，k )处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
平移规律：在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加
下减”．
方法二：
y = ax2⑴ + bx + c 2 2沿 y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，y = ax + bx + c 变成 y = ax + bx + c +m（或
y = ax2 + bx + c m）
⑵ y = ax2 + bx + c 2沿 x 轴 平 移 ： 向 左 （ 右 ） 平 移 m 个 单 位 ， y = ax + bx + c 变 成
y = a(x +m)2 + b(x +m) + c （或 y = a(x m)2 + b(x m) + c）
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【例 1】考试常见题型，一般以填空或选择题形式出现
①归纳总结图像的特征，学生必须能准确回答以下问题
②任意改变 a 的值（如负整数，负分数，正负无理数，正整数等），再次填空练习
3
①函数 y = x 2 的图象顶点是__________；对称轴是________；开口向_______；当 x＝___________时，有最
7
_________值是_________；当 x 时，y 随 x 的增大而减小。——
1
②抛物线 y = x 2 9 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线
4
1
y = x 2 向 平移 个单位得到的．
4
③抛物线 y = (x 1)2的开口 ，对称轴是 2 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 y = x 向
平移 个单位得到的．
1
④抛物线 y = (x + 3)2 1有最______点，其坐标是______．当 x＝______时，y的最______值是______；当 x______
2
时，y随 x增大而增大．
⑤抛物线 y＝2x2－3x－5 的顶点坐标为______．当 x＝______时，y有最______值是______，与 x轴的交点是______，
与 y轴的交点是______，当 x______时，y随 x增大而减小，当 x______时，y随 x增大而增大．
⑥把二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成 y＝a(x－h)2＋k形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当
x＝______时，y最值＝______；当 a＜0 时，x______时，y随 x增大而减小；x______时，y随 x增大而增大．
【例 2】根据图像和性质求值或取值范围
1、二次函数 y = (m 3)x2 的图象开口向下，则 m___________．——利用开口方向的性质与系数求值
2
【巩固 m m1】当 m= 时，抛物线 y = (m 1)x 开口向下．——利用开口方向的性质与系数、次数求值
【巩固 2】二次函数 y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则 k 的取值范围为___________．——看图解题
m2 2
2、二次函数 y＝mx 有最高点，则 m＝___________．——利用最值求未知数的值
2
3、已知 y = (k + 2)x k +k 4 是二次函数，且当 x 0时，y 随 x 的增大而增大．——利用增减性解题
（1）求 k 的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
4、已知函数 y = mx2 + (m2 m)x + 2的图象关于 y 轴对称，则 m＝________；
5、二次函数y mx 2 2x m 4m2的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是
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【例 3】二次函数 y＝ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．——开口大小与二次项系数的
关系，数形结合
1
(1)y＝2x2如图( )； (2) y = x2 如图( )； (3)y＝－x2 如图( )；
2
1 1 1
(4) y = x2如图( )； (5) y = x2 如图( )； (6) y = x2 如图( )．
3 9 9
【例 4】二次函数的基础题型，学生必须会求解析式，且计算不能出错，为中考 25 题（1）奠定基础
【题型 1】待定系数法求解析式
1、若二次函数 y = ax2 的图象过点（1，－2），则 a 的值是___________。
、已知抛物线 y = ax22 + c 经过点（-3，2）、（0，-1）。求该抛物线的解析式
3、已知抛物线 y = a(x h)2经过点（-3，2）（-1，0），求抛物线的解析式。
4、已知二次函数的图象经过点 A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；求该抛物线的解析式——一般式
【题型 2】先求解析式，再求点的坐标
1、已知抛物线 y = ax2 经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的值．——先求解析式，再求点的坐标
2、二次函数 y = ax2 + c（a≠0）的图像经过 A（ 21，-1），B（2，5），则函数 y = ax + c 的表达式是 。
若点 C（-2，m），D（n，7）也在这个函数的图像上，则点 C 的坐标为 ，点 D 的坐标为 。
3、二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象过点 A(－2，5)，且当 x＝2 时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断
点 B(0，3)是否在这个函数的图象上．
【题型 3】先确定二次项系数，再代点求解析式
1、形状与 y = 2x2 +3的图像形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
2
2、形状与 y = 2(x +3) 的图像形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线的解析式。
【题型 4】根据顶点与对称轴求解析式
1、对称轴是 y 轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）点的解析式。
2、已知二次函数图像的顶点在 x 轴上，且图像经过（2，-2）（-1，-8），求此函数的解析式。
2 1
3、抛物线 y = ax + 2x + c 的顶点是 ( , 1)，则 a 、c 的值是多少？并求出抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标。
3
4、已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1）；
5、已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、N（5，0），且与 y 轴交于点（0，-3）；——交点式
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【题型 5】利用函数的轴对称性与数形结合求函数解析式
1、如图，A、B 分别为 y = ax2 上两点，且线段 AB⊥y 轴于点（0,6），若 AB=6，则该抛物线的表达式
为 。
2 1
2、二次函数 y = a(x h) 的图象如图：已知a = ，OA=OC，试求该抛物线的解析式。
2
【例 5】二次函数 y = ax2 与直线 y = 2x 3交于点 P（1，b）．——二次函数与一次函数小综合
（1）求 a、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小．
【巩固】函数 y = ax2 与 y = ax + b的图象可能是（ ）——二次函数与一次函数的图像位置关系
A． B． C． D．
【例 6】考试常考题型，一般以填空和选择题为主，为反比例函数的此类题做铺垫，反比例函数的增减性时中考的
高频考点。
1、（1）已知点 A（－2，y1），B（-4，y2）在二次函数 y=3x2的图象上，则 y1 y2.——直接带入比较大小
（2）已知点 A（2，y1），B（-3，y2），C（4，y3）在二次函数 y=ax2(a＜0)的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是
——特殊值法比较大小
2、（1）已知点 A（2，y1），B（4，y2）在二次函数 y=－3x2+6 的图象上，则 y1 y2.
（2）已知点 A（－2，y1），B（4，y2）在二次函数 y=ax2+c(a>0)的图象上，则 y1 y2.
（ 23）已知抛物线 y = 2x 1上有两点（x1，y1），（x2，y2），且 x1＜x2＜0，则 y1 y2（填“＞”或“＜”）。
3、（1）若 A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y 23）为二次函数 y=x +4x-5 的图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系
是（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2
（2）已知二次函数 y=﹣ x2﹣7x+ ，若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值 y1，
y2，y3的大小关系正确的是【 】
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
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【例 7】二次函数与几何综合，为中考 25 题奠定基础
抛物线 y = a(x 4)2 向左平移 6 个单位后得到抛物线 y = 3(x h)2 的图像，则 a= ，h= 。
若抛物线 y = a(x 4)2 的顶点为 A，且与 y 轴交于点 B，抛物线 y = 3(x h)2 的顶点为 M，则 S = 。 MAB
【例 8】把二次函数 y = 2x2 的图像，先沿 x 轴向左平移 6 个单位，再沿 y 轴向下平移 2 个单位，得到的图像的顶
点坐标是 。——二次函数的平移
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22.2 二次函数与一元二次方程
一、二次函数与一元二次方程
（一）二次函数的交点与一元二次方程根的关系
1、对于二次函数 y = ax2 +bx + c (a 0)来说，当 y = 0 时，就得一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a 0)，抛物线
2 2
y=ax +bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax +bx+c=0 的根。
2、交点式：若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 两根为 x1，x2，则二次函数可表示为 y＝_____________________．
2 x + x
3、若抛物线 y=ax +bx+c （a≠0）的图象与 x 轴有两个交点 A（x1，0）B(x2，0)，则抛物线的对称轴为直线 x= 1 2 ，
2
2 2 b
2 4ac
线段 AB的距离= x1 x2 = (x1 x2 ) = (x1 + x2 ) 4x1x2 = = ，对称轴与 x 轴的交点恰为
a2 a
线段 AB 的中点。
4、抛物线 y = ax2 +bx + c 与直线 y = kx + b（当 k 0时为一次函数的图像，当 k = 0时为平行于 x 轴或与 x 轴重
合的一条直线 y = b ）的交点情况.
2 x + x
5、若抛物线 y=ax +bx+c （a≠0）的图象与 x 轴有两个交点 A（x ，0）B(x ，0)，则抛物线的对称轴为直线 x= 1 21 2 ，
2
b2 4ac
线段 AB的距离= x1 x2 = (x1 x2 )
2 = (x1 + x2 )
2 4x1x2 = = ，对称轴与 x 轴的交点恰为线段
a2 a
AB 的中点。
（二）二次函数与根的判别式的关系
2 2
二次函数 y=ax +bx+c （a≠0）的图象与 x 轴的交点有三种情况（也即一元二次方程 ax +bx+c=0 根的情况）
2 2
①抛物线 y=ax +bx+c（ a≠0）的图象与 x 轴有两个交点（x1，0）(x2，0) <=>当△＞0 时，一元二次方程 ax +bx+c=0
- b b2 4ac
（a≠0）有两个不相等的实数根 x1，x2，x1,2= ；
2a
2 b
②抛物线 y=ax +bx+c (a≠0)与 x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点（- ，0）<=>当△=0 时，方程
2a
2 b
ax +bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2= -
2a
2 2
③抛物线 y=ax +bx+c (a≠0)与 x 轴没有交点<=>当△＜0 时，方程 ax +bx+c=0 没有实数根。
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（三）二次函数与不等式的关系
利用二次函数图象求一元二次不等式的解集：
2
①抛物线在 x 轴上方的部分所对应的 x 的取值范围就是不等式 ax +bx+c＞0 的解集，即 y＞0 时，x 的取值范围；
2
②抛物线在 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值范围就是不等式 ax +bx+c＜0 的解集，即 y＜0 时，x 的取值范围；
【例 1】判断下列各抛物线是否与 x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。——利用△判断二次函数与 x轴的交点
个数
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
【例 2】已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0( )
——数形结合判断方程根的情况
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于 1，一根大于 2
【例 3】中考 12 题其中一个类型题
函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于 x的方程 ax2＋bx＋c－3＝0 的根的情况是( )
——根据函数图像判断方程根的情况
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
【例 4】根据下表中的二次函数 y = ax2 +bx + c的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判断该二次函数的图象与 x 轴
（ ）．——根据表格进行综合判断
x … 1 0 1 2 …
7 7
y … 1 2 …
4 4
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧
C．有两个交点，且它们均在 y 轴同侧 D．无交点
【例 5】已知抛物线 y=x2-6x+a 的顶点在 x 轴上，则 a= ；若抛物线与 x 轴有两个交点，则 a 的范围
是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则 a 的范围是 ；——利用交点个数求取值范
围
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【例 6】已知二次函数 y=x2-kx-2+k.——综合应用
(1)求证:不论 k 取何值时，这个二次函数 y=x2-kx-2+k 与 x 轴有两个不同的交点。
(2)如果二次函数 y=x2-kx-2+k 与 x 轴两个交点为 A、B，设此抛物线与 y 轴的交点为 C，当 k 为 6 时,求
S△ABC。
【例 7】如图，抛物线 y = ax2 + bx + c(a 0) 的对称轴是直线 x =1 ，且经过点 P （ 3， 0），则方程
ax2 +bx + c = 0(a 0) 的根为： 。——交点坐标与方程根的关系
【例 8】已知抛物线 y = x2 + px + q 与 x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则 p = ，q = .——系数与交点
之间的关系，原理是一元二次方程根与系数的关系
【例 9】某一元二次方程的两个根分别为 x1=－2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：
______.(写出一个符合要求的即可)——开放性题
【例 10】这种题型最根本的理解是：图像与 x 轴的交点是 y 值正负的分界点
抛物线 y = x2 + bx + c的部分图象如图所示，若 y>0，则 x 的取值范围是——根据图像求范围，可以变化为 y＞2
或 y＜-1 等题型
A．-41 D．x<-3 或 x>1
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二、二次函数与 a、b、c 的符号
（一）a、b、c 符号的判断
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（二）b2 4ac符号的判断
（三）2a+b 与 2a-b 符号判断
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（四）常见 6 个 a、b、c 关系式符号的判断
（五）其他代数式的判断
b
由对称轴入手，将对称轴直线 x= 整理成利用 a 表示 b 或利用 b 表示 a 的等式，例如：对称轴为 2，则
2a
b 1
=2，整理得 b=-4a 或 a= b，
2a 4
解题方法一：将这两个式子中得一个带入到六个常见得代数式中即可得到答案
解题方法二：将 b=-4a 带入到另外一个等式中（常见图像与 x 轴的交点）
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【例 1】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )——基础 a、b、c 符号的判断
A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0
B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0
C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0
D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0
2
【例 2】已知二次函数 y = ax +bx + c的图象如图所示，有以下结论：
①a +b+ c 0；②a b+ c 1；③abc 0；④4a 2b+ c 0
其中所有正确结论的序号是（ ）六个基本代数式的符号判断
A．①② B． ①③④ C．①②③ D．①②③④
【例 23】已知二次函数 y = ax +bx + c的图象如图．则下列 5 个代数式：ac， a + b + c ，4a 2b+ c ，2a +b ，
2a b 中，其值大于 0 的个数为（ ）——2a +b 与2a b 符号判断
A．2 B 3 C、4 D、5
2
【例4】已知二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】——其他代数式符号判断，两种方法
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
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2
【例 5】如图，二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），与 y 轴的交点 B 在（0，2）与（0，3）之
间（不包括这两点），对称轴为直线 x=2．下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点 M（ ，y1），点 N（ ，y2）是函数图象上的两点，则 y1＜y2；④﹣ ＜a＜﹣ ．
其中正确结论有（ ）——与增减性相结合
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【例 6】如图，二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的正半轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，对称
1
轴为直线 x=2，且 OA=OC.有下列结论：①abc<0；②3b+4c<0；③c>-1；④关于 x 的方程 a +bx+c=0 有一个根为 ，
a
其中正确的结论个数是——与一元二次方程相结合
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【例 7】如图是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a 0)的部分图象,其顶点坐标为 (1,n )，且与 x 轴的一个交点在点 (3,0)
和 (4,0)之间.则下列结论:
① a－b＋c＞0 ;②3a＋b＝0 ;③ b2＝4a (c－n ) ; ④一元二次方程ax2＋bx＋cy＝n－1 有两个不相等的实数根.
其中正确结论是( )
A.①②③ B.①③④ C.③④⑤ D.②③⑤
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22.3 实际应用
（一）面积最值
【例 1】此题的变式较多，①花圃中间无篱笆②花圃中间增加若干篱笆③篱笆上增加门等
在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆围成中间隔有两道篱笆的花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S
平方米，则
（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当 x 取何值时，所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙面的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的最大面积。
【例 2】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一
个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围
出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
x
【例 3】在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm／s 的速度移动，同时点
Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm／s 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达 B、C 两点后就停止移
动．
（1）运动第 t 秒时，△PBQ 的面积 y(cm )是多少？
（2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm )，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）t 为何值时 s 最小，最小值时多少？——动点面积问题
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（二）销售问题
【例 1】再一道题中体现出了常见问法
某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价 1元，每星期少卖出 10件；每降价
1元，每星期可多卖出 20件，已知商品的进价为每件 40元，
(1)当售价为每件 65 元时，计算每星期的销售量和销售利润；
(2)设售价为每件 x 元，每星期的销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式；
(3)商店想在每星期的销售成本不超过 1000 元的情况下，使得月销售利润达到 6000 元，销售单价应定为多少？
（4）如何定价才能使利润最大？
【例 2】二次函数与一次函数的实际应用
市“健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30 元/千克销售，那么每天可售出 400 千克．由销售经验
知，每天销售量 y (千克) 与销售单价 x (元)
( x 30）存在如下图所示的一次函数关系式．
⑴试求出 y 与 x的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是
多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元， 现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，
请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 x的范围( 直接写出答案)．
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（三）拱桥模型
【例 1】考试常见题型，尤其是期末考试，此类题要把实际问题转换为二次函数的对应知识点，如可转换为求点的
坐标等
如图，足球场上守门员在 O处开出一高球，球从离地面 1米的 A处飞出（A在 Y轴上），运动员乙在距 O点 6米的 B
处发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹
起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取 4 3 7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取 2 6 5）
【例 2】标准的拱桥模型题，添加了“是否通过”的题型，注意如何建系更简便
一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示)，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17 所示)，求抛物线的解析式；
（2）求支柱 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的
三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．
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综合大题
【例 1】求点的坐标
已知抛物线 C： y = x2 4x ，
（1）求抛物线 C 的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）将抛物线 C 向下平移，得抛物线C ，使抛物线C 的顶点落在直线 y=-x-7 上，
①求抛物线C 的解析式；
②抛物线C 与 x 轴的交点为 A，B（点 A 在点 B 的左侧），抛物线C 的对称轴与 x 轴的交点为 N，点 M 是线段 AN
上的一点，过点 M 作直线 MF⊥x 轴，交抛物线C 于点 F，点 F 关于抛物线对称轴的对称点为 D，点 P 是线段 MF
1
上一点，且MP = MF ，连接 PD，作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E，且 PE=PD，求点 E 的坐标。
4
【例 2】周长最值（将军饮马）和面积最值（铅锤高，水平宽）（三角形和四边形）
如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是
（1，0），C 点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，
请说明理由；
（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及 E 点的坐标．
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【例 3】等腰三角形存在和新函数关系式
如图，己知抛物线 y=x2+bx+c 图象经过点以(-1，0)，B(0，-3)，抛物线与 x 轴的另一个交点为 C.
（1）求这个抛物线的解析式:
（2）若抛物线的对称轴上有一动点 D，且△BCD为等腰三角形(CB≠CD)，试求点 D 的坐标；
（3）若点 P 是直线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 和点 C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，点
Q 也在直线 BC 上，且 PQ= 2 ，设点 P 的横坐标为 t，△PMQ的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式
【例 4】平行四边形存在和动点相似三角形
如图，在矩形 OABC 中，AO＝10，AB＝8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的点 E 处．分
别以 OC、OA 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 O、D、C 三点．
（Ⅰ）求 AD 的长及抛物线的解析式；
（Ⅱ）一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒
1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以
P、Q、C 为顶点的三角形与△ADE相似？
（Ⅲ）点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，E 为顶点且 EC
为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 与点 N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
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