第23章 旋转 同步讲义（无答案，pdf版）

目录
第 23 章 旋转 ..................................................................................................................................................................... 2
23.1 图形的旋转 .......................................................................................................................................................... 2
一、相关定义 ................................................................................................................................................................ 2
二、旋转作图 ................................................................................................................................................................ 2
23.2 中心对称 .............................................................................................................................................................. 6
23.2.1 中心对称 ....................................................................................................................... 6
23.2.2 中心对称图形 .............................................................................................................. 7
23.2.3 关于原点对称的点的坐标 ....................................................................................... 8
补充题型——综合应用 ....................................................................................................................... 8
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第 23 章 旋转
23.1 图形的旋转
一、相关定义
1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转
角(如∠AOA′),如果图形上的点 A 经过旋转变为点 A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△ A B C ).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
二、旋转作图
旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
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【例 1】如图，将三角尺 ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕 B 点按顺时针方向转动一个角度到 A1BC1的位置，
使得点 A，B，C1 在同一条直线上，其中旋转中心是 ,点 C 的对应点是 ,AB 的对应边
是 ,旋转角为 度.——旋转概念及三要素
A
1
C
B C
A 1
【例 2】以(第O9题为）旋转中心，把△ABC 顺时针旋转 60°，画出旋转后图形——给旋转中心与旋转角度画图，基本作图
【例 3】如图，图形(1)是由图形(2)经过旋转得到的，请画出旋转中心.——已知旋转前后的图形，找旋转中心，为旋
转最值做铺垫
【例 4】利用旋转的性质解题，注意解题前标注的三点
【题型 1】利用旋转的性质求角度
1、如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC绕点 A旋转到△AB′C′的位置，使 CC′∥AB，则旋转角的度数在平
面内为（）
A.35° B.40° C.50° D.55°
2、如图，△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点
A′逆时针旋转一定角度后，点 B′恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）——旋转与平移综
合解题
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A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
3、如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，BE=CF，连接 AE、BF．将△ABE 绕着正方形的中心
O 顺时针方向旋转到△BCF 的位置，则旋转角是（ ）——正方形
A．45° B．60° C．90° D．120°
4、如图,平行四边形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°,得到平行四边形 AB′C′D′(点 B′与点 B 是对应点,点 C′与点 C 是对
应点,点 D′与点 D 是对应点),点 B′恰好落在 BC 边上,则∠C 的度数等于()——平行四边形
A. 100° B. 105° C. 115° D. 120°
【题型 2】利用旋转求线段的长度
1、如图,在矩形 ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 按逆时针方向绕点 A 旋转到△AEF（点 A、B、E 在同一直线
上），连结 CF，则 CF = ．——矩形
2、如图，正方形 ABCD绕点 B逆时针旋转 30°后得到正方形 BEFG，EF与 AD相交于点 H，延长 DA交 GF于点 K.若
正方形 ABCD边长为 3 ，则 HD的长为___.——正方形
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3、如图,在矩形 ABCD 中，AB=1，BC= 3 .将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转至矩形 AB′C′D′,使得点 B′恰好落在对
角线 BD 上,连接 DD′,则 DD′的长度为()——矩形
A. √3 B. √5 C. √3 + 1 D. 2
【题型 3】利用旋转求面积
1、如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，△ABC 绕着点 A旋转后能与△AB′C′重合，那么△ABB′与△ACC′的面积之
比为 ．
2、如图,将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 A′B′C′D′的位置,此时 AC 的中点恰好与 D 点重合,AB′交 CD 于点 E. 若
AB=3,则△AEC 的面积为()
A. 3 B. 1.5 C. 2√3 D. √3
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23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成
中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫对称点。
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转 180°能够与另一个图形重合 (全等图形
不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一
点对称。
【例1】如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是 ( )
【例 2】在一次游戏当中，小明将下面前面的四张扑克牌中的某一张旋转 180°后，得到后面四张牌的图示，小芳
看了后，很快知道小明旋转的是哪一张扑克！你知道是( )
A．黑桃 9 B．方块 J C．黑桃 8 D．梅花 3
【例 3】如图已知四边形 ABCD和点 O，求作四边形 ABCD关于 O点的对称图形。
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【例 4】图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心.
【例】如图，△ABC 与△A′B′C′关于点 O 成中心对称，下列结论中不成立的是( )
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
23.2.2 中心对称图形
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
【例 1】下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【例 2】下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的是
A B C D
【例3】观察下列图案,其中旋转角最大的是 ( )
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23.2.3 关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x,y)关于原点对称的对称点为 P1（-x，-y）。
【例 1】点 A（1，3）关于原点的对称点 A’的坐标是 ；点 P（-a，b）关于原点的对称点
P’的坐标是 ；点 A（2，n）与点 B（m,-5）关于原点对称，则 n-m= ；
直线 y=x+3 上有一点 P(m-5，2m)，则 P 点关于原点的对称点 P′的坐标为____________．
【例 2】△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所．——网格作图求点的坐标
（1）将△ABC 绕原点 O 旋转 180°得△A1B1C1，请画出△A1B1C1 ；
（2）写出△A1B1C1中各点的坐标．
补充题型——综合应用
平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换，即变换前后的图形全等．
把一个图形沿某一方 把一个图形绕着某一
定 把一个图形沿着某一条
向移动一定距离的图 定点转动一个角度的
义 直线折叠的图形变换．
形变换． 图形变换．
图
不 形
同
点
要 平移方向 旋转中心、旋转方向、
对称轴
素 平移距离 旋转角度
连接各组对应点的线 任意一对对应点所连线 对应点到旋转中心的
性 段平行（或共线）且相 段被对称轴垂直平分． 距离相等；对应点与旋
质 等． 转中心所连线段的夹
角都等于旋转角．
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对应线段平行（或共 任意一对对应点所连线 *对应点到旋转中心的
线）且相等． 段被对称轴垂直平分． 距离相等；对应点与旋
转中心所连线段的夹
角等于旋转角， 即：对
应点与旋转中心连线
所成的角彼此相等．
做旋转大题时，要注意如何巧用已知的旋转角度解题
【例 1】直角三角形的旋转
在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（8，0），点 B（0，4），点 C，D 分别是边 OA，AB 的中点。将
△ACD 绕 点 A 顺时针方向旋转，得△AC'D'，记旋转角为 α.
（I）如图①，连接 BD'，当 BD'//OA 时，求点 D'的坐标；
（II）如图②，当 α=60°时，求点 C'的坐标：
（III）当点 B，D'，C'共线时，求点 C 的坐标（直接写出结果即可）。
【例 2】等腰直角三角形的旋转——手拉手模型
如图 ，△ ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC,CD 在同一条直线上，点M、N 分别是斜边 AB、DE
的中点，点P 为 AD 的中点，连 AE、BD、MN .
（1）求证：△ PMN 为等腰直角三角形；
（2）现将图 中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转顺时针旋转 α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与 MP、BD分别交
于点 G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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【例 3】等腰直角三角形的旋转——手拉手模型（坐标系）
在平面直角坐标系中，点 A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），点 D、E 分别是 AC，BC 的中点，将△CDE 绕点 C 逆
时针旋转得△CMN，点 M，N 分别是点 D，E 旋转后的对应点，记旋转角 α．
（Ⅰ）如图 1，求证 AM=BN；
（Ⅱ）如图 2，当 α=75°时，求点 N 的坐标；
（Ⅲ）当 AM∥CN，求 BN 的长（直接写出结果即可）
【例 4】等边三角形的旋转
如图①，在平面直角坐标系中，等边△ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（5，0），（9，0）.点 D 是 x 轴正半轴上一个
动点，连接 CD，将△ACD 绕点 C 逆时针旅转 60°得到△BCE，连接 DE.
（I）直接写出点 C 的坐标，并判断△CDE 的形状，说明理由
（II）如图②，当点 D 在线段 AB 上运动时，△BDE 的周长是否存在最小值 若存在，求出△BDE 的最小周长及此
时点 D 的坐标；若不存在，说明理由：
（III）当△BDE 是直角三角形时，求点 D 的坐标。（直接写出结果即可）
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【例 5】旋转最值，注意辅助圆——切线与点和圆的位置关系
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在△ABC 中，AB=AC=5，cos∠ABC= ，将△ABC绕点 C顺时针旋转，得到△A1B1C.
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（1）如图①，当点 B1在线段 BA延长线上时。①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图②,点 E 是 BC边的中点，点 F为线段 AB上的动点，在△ABC绕点 C顺时针旋转过程中，点 F的对应点是
F1，求线段 EF1长度的最大值与最小值的差。
【例 6】正方形旋转，注意辅助圆的找法——定角对定边
在平面直角坐标系中，O为原点，点 A（-2，0），点 B（0，2），点 E，点 F分别为 OA，OB 的中点.若正方形 OEDF绕
点 O顺时针旋转，得正方形 OE′D′F′，记旋转角为α.
（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求 AE′，BF′的长；
（Ⅱ）如图②，当α＝135°，求证 AE′＝BF′，且 AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线 AE′与直线 BF′相交于点 P，求点 P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）
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