第24章 圆 同步讲义（无答案，pdf版）

目录
第 24 章 圆 ........................................................................................................................................................................................................ 2
24.1 圆的有关性质 .................................................................................................................................................................................. 2
24.1.1 圆 .............................................................................................................................................................................................. 2
24.1.2 垂直于弦的直径 .................................................................................................................................................................. 4
24.1.3 弧、弦、圆心角 .................................................................................................................................................................. 7
24.1.4 圆周角 ..................................................................................................................................................................................... 9
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 ................................................................................................................................................. 13
24.2.1 点和圆的位置关系 ............................................................................................................................................................ 13
24.2.2 直线和圆的位置关系 ....................................................................................................................................................... 14
24.3 正多边形和圆 ................................................................................................................................................................................. 20
24.4 弧长和扇形面积 ............................................................................................................................................................................. 21
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第 24 章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1、圆的定义：
（1）在一个平面内，线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的
端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。
2．圆的有关概念
（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中的 CD）。
（2）直径：经过圆心的弦。直径等于半径的 2 倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，
在一个圆中，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3、等圆与等弧
（1）圆心相同，半径相等的圆叫同圆。圆心相同，半径不相等的圆叫同心圆。
（2）能够重合的两个圆，叫等圆。半径相等的两个圆是等圆。反过来，同圆或等圆的半径相等。
（3）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
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【例 1】若点 O 为⊙O 的圆心，则线段 _________ 是圆 O 的半径；线段 _________ 是圆 O 的弦，其中最长
的弦是 _________ ； _________ 是劣弧； _________ 是半圆．——基本定义概念
【例 2】此类题是圆中计算角度的基础，根据圆中半径相等，形成等腰三角形，综合运用三角形的知识点解题
若∠A=40°，则∠ABO= _________ ，∠C= _________ ，∠ABC= _________ ．——利用圆中的等腰三角
形计算角度
【例 3】如图 2，AB 为⊙O 直径，点 C、D 在⊙O 上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__________．——综
合其他知识点求角度
【例 4】下列命题中，正确的个数是（ ）——综合判断
⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；
⑶半径相等的两个圆是等圆 ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
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24.1.2 垂直于弦的直径
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
垂径定理及其推论中的五个元素：过圆心，垂直于弦，平分弦，平分优弧，平分劣弧，可总结为“知二推三定理”
解题规律:
【例 1】下面四个命题中正确的一个是（ ）——基本概念的考查
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
【例 2】垂径定理及其推论常见的题型
1、圆的半径为 5cm，圆心到弦 AB 的距离为 4cm，则 AB= _________ cm．——直接给条件
2、过⊙O 内一点 P 的最长弦为 10cm，最短的弦为 6cm，则 OP 的长为 .——间接给条件
3、如图，CD 是⊙O 的直径，AB⊥CD 于 E，DE=8cm，CE=2cm，则 AB= _________ cm．——勾股定理列方
程解题
4、如图，在 O中，弦 CD垂直于直径 AB，垂足为 H，CD=2√2，BD=√3，则 AB的长为( ) ——勾股定理列
方程解题
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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【例 3】求角度——利用特殊直角三角形三边比例关系求角度
1、已知：在⊙O中，弦 AB =12cm，O点到 AB 的距离等于 AB 的一半，求： AOB的度数和圆的半径.
2、已知：⊙O 的半径OA =1，弦 AB、AC 的长分别是 2 、 3 .求 BAC 的度数。
【例 4】同心圆
在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于 C、D 两点，且圆心 O到 AB的距离 OE＝5cm，大圆半径 OA＝
13cm，小圆半径为 41 cm，求 CD、AC的长．
【例 5】相交弦
如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝300，求 CD 的长。
【例 6】平行弦问题，分类讨论
在直径为 50cm 的⊙O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 AB∥CD，求：AB 与 CD 之间的距离.
【例 7】拱桥模型，
1、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB＝16m，半径 OA＝10m，则中间柱 CD的高度为 m。
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2、如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C，交弦 AB 于点 D。已知：AB=24cm，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
C
A B
D
【例 8】油桶模型
1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB
是________cm.——直接计算
2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为________cm.——
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24.1.3 弧、弦、圆心角
1、圆心角定义：我们把顶点在圆心的角叫圆心角。
2、圆心角定理：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
圆心角定理的三个元素：圆心角，圆心角所对的弦，圆心角所对的弧，可总结为“知一推二”
3、补充概念：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）1°的弧的概念.
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB= ，这是错误的。
【例 1】下列说法中正确的是（ ）． ——基础知识判断
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等
【例 2】在两个半径不同的圆中，分别有 和 ，若 和 的度数相等，那么下面结论中正确的是（ ）．—
—综合判断，易错题
A． ＝ B． 和 所对的两个圆心角相等
C． 所对的弦和 所对的弦相等 D． 和 所对的弦的弦心距相等
【例 3】利用弧的度数进行计算
1、在⊙O 中，弦 AB 把⊙O 分成度数的比为 1∶5 的两条弧，则 的度数是（ ）．——求度数
A．30° B．45° C．60° D．90°
1
2、在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为 4cm，则弦 AB 的长是（ ）．——求弦长
3
A． 3 cm B．2cm C．2 3 cm D．4 3 cm
3、在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB＝50°，则弦 AB 所对的圆心角的度数是___________，弦 AB 所对的两条弧的度数是
___________．——综合等腰三角求度数
4、在⊙O 中，AB 和 CD 是两条平行弦，且 AB、CD 所对的圆心角分别是 120°、60°，⊙O 的半径为 6cm，则 AB、
CD 之问的距离是___________．——平行弦
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【例 4】已知：如图，在⊙O 中，弦 AB、CD 的延长线交于 P 点，PO 平分∠APC。
求证：（1）AB＝CD；（2）PA＝PC——注意：不能由弦心距相等直接得到弦相等，在解答题 zho 那个需要证
明过程，在填空或选择题中可以直接用。
A
M
B
O 1
2 P
D
N
C

【例 5】如图，CD为⊙O的弦， AC = BD，OA、OB交CD于F、E。——已知弧相等，证明线段相等
求证：OE＝OF
O
F E
C D
A B

【例 6】已知：如图，AB = CD，OE⊥AB，OF⊥CD， OEF = 25 ，求∠OFE 的度数。——已知互相等，求角
度
B D
E F
O
A C
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24.1.4 圆周角
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
如图， AB 是半圆（AB 是直径），则∠ACB=90°。
4、圆内接多边形：如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫多边形的外
接圆。
5、圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补。
如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠BCD=180°（还可以得到外角与内对角的关系）
【例 1】下列图形中的角是圆周角的是( )——定义考查
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【例 2】已知⊙O 的弦 AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦 AB 所对的圆周角的度数为 30°或 150°．
【例 3】同弧所对圆周角
如图，圆 O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B 等于______度
【例 4】同弧所对圆心角与圆周角
1、如图，在⊙O 中，若已知∠BAC=48°，则∠BOC= 。
2、如图，A，B，C，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=50°，AO//DC，则∠B 的度数为
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
【例 5】等弧圆心角、圆周角，垂径定理
1、如图，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
2、如图，O是△ABC的外接圆，∠B=60°，O的半径为 4，则 AC的长等于( )
A. 4√3 B. 6√3 C. 2√3 D. 8
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【例 6】直径所对圆周角
如图，A、D是 O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）
A. 35° B. 55° C. 65° D. 70°
【例 7】圆内接四边形
1、如图，四边形 ABCD内接于 O，若∠BOD=138 ，则它的一个外角∠DCE等于（ ）
A. 69° B. 42° C. 48° D. 38°
2、如图，AB是半圆的直径，点 D是弧 AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于( )
A. 65° B. 60° C. 55° D. 50°
【例 8】综合解答题
如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.
(1)求 BC 的长；
(2)求 BD 的长．
【例 9】综合解答题：证明题
如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC，AC 于点 D，E，且点 D 为边 BC 的中点．
(1)求证：△ABC 为等边三角形；
(2)求 DE 的长．
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【例】中考模拟题
1、已知，点 B是半径 OA 的中点，过点 B作 BC⊥OA 交⊙O于点 C.
（1）如图①，若 BC=√3，求⊙O的直径；
（2）如图①，点 D是弧 AC 上一点，求∠ADC的大小.
2、如图，AB是⊙O的直径，C、P 是弧 AB 上两点，AB=13，AC=5.
（1）如图①，若点 P是弧 AB的中点，求 PA的长； （2）如图②，若点 P是弧 BC的中点，求 PA的长.
图① 图②
3、已知 AB，AC 是⊙O 的两条弦，且 AB⊥AC，AB=AC=6，点 D 在⊙O 上，连接 AD，BD，CD.
（1）如图①，若 AD 经过圆心 O,求 BD，CD 的长；
（2）如图②，若∠BAD=2∠DAC，求 BD，CD 的长.
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1、点与圆的位置关系：
设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆 O 的距离 OP=d，则有：
点 P 在圆外 d＞r
点 P 在圆上 d=r
点 P 在圆内 d＜r
如图，⊙O 的半径为 r.
(1)点 A 在⊙O 外，则 OA__＞___r；点 B 在⊙O 上，则 OB__＝___r；点 C 在⊙O 内，则 OC__＜___r.
(2)若 OA＞r，则点 A 在⊙O__外___；若 OB＝r，则点 B 在⊙O__上___；若 OC＜r，则点 C 在⊙O__内___．
2、三点定圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
3、三角形外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
【例 1】点与圆的位置关系
1、已知点 A 在直径为 8 cm的⊙O 内，则 OA 的长可能是( D )
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
2、已知圆的半径为 6 cm，点 P 在圆外，则线段 OP 的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．
3、已知⊙O 的半径为 7 cm，点 A 为线段 OP 的中点，当 OP 满足下列条件时，分别指出点 A 与⊙O 的位置关系：
(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.
4、在平面直角坐标系中，⊙A 的半径是 4，圆心 A 的坐标是(2，0)，则点 P(－2，1)与⊙A 的位置关系是__点 P 在
⊙A 外___．
【例 2】三角形的外接圆
1、如图，点 O 是△ABC 的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___．
2、如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口 A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地
方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．
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24.2.2 直线和圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线
（2）直线与圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线
（3）直线与圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离
2、直线与圆的位置关系的判断方法：
设⊙O 的半径为 r，直线 l 到圆 O 的距离为 d，则有：
直线 l 与⊙O 相交 d＜r
直线 l 与⊙O 相切 d=r
直线 l 与⊙O 相离 d＞r
位置关系与判断方法总结
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
注意：切线的判定解题方法①有交点，连半径，证垂直②无交点，作垂直，证半径
4、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
5、切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
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6、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
7、三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三条角平分线的交点，叫做三角
形的内心。
【例 1】直线和圆的位置关系
1、已知⊙O 的半径是 6 cm，点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5 cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是( A )——直接
判断
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D )——注意出题陷阱
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
3．如图，半径为 2 的⊙P 的圆心在直线 y＝2x－1 上运动．——与函数综合
(1)当⊙P 和 x 轴相切时，写出点 P 的坐标，并判断此时 y 轴与⊙P 的位置关系；
(2)当⊙P 和 y 轴相切时，写出点 P 的坐标，并判断此时 x 轴与⊙P 的位置关系；
(3)⊙P 是否能同时与 x 轴和 y 轴相切？若能，写出点 P 的坐标；若不能，说明理由．
4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有何种位置关系？请你写
出判断过程．——数形结合，画图解答
(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ 3 cm；(3)r＝2 cm.
5、已知∠MAN＝30°，O 为边 AN 上一点，以 O 为圆心，2 为半径作⊙O，交 AN 于 D，E 两点，设 AD＝x.
(1)如图①，当 x 取何值时，⊙O 与 AM 相切？
(2)如图②，当 x 取何值时，⊙O 与 AM 相交于 B，C 两点，且∠BOC＝90°？——综合练习
【例 2】切线的判定
1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥OB，交 AB 于 E，且 AD＝ED.求证：AD 是⊙O 的切线．——有切点，利用角度
证垂直，可总结证明垂直的解题思路
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2、如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心的圆与 AB 相切于点 E.求证：AC 与⊙D 相切．—
—无切点
【例 3】切线的性质
1、如图，AB是 O的弦，AC是 O的切线，A为切点，BC经过圆心。若∠B=25°，则∠C的大小等于( )——切
线的性质
A.20° B.25° C.40° D.50°
2、如图，线段 AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，∠CDB=20°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，
则∠E=___．——切线的性质与圆周角
【例 4】切线长定理
1、如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦 AB 的
长是( B )——切线长相等，形成等腰三角形
A．4 B．8 C．4 3 D．8 3
2、如图，AB，AC 与⊙O 相切于点 B，C，∠A＝50°，点 P 是圆上异于 B，C 的一动点，则∠BPC 的度数是( C )
A．65° B．115° C．65°或 115° D．130°或 50°——注意点 P 的位置，找规律
︵
3、如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA，PB 于点 E，F，切点 C 在AB上，若 PA
长为 2，则△PEF 的周长是__4___．——多条切线
【例 5】三角形内切圆
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1、如图，圆 O内切于△ABC，切点为 D，E，F分别在 BC，AB，AC上。已知∠B=50 ，∠C=60 ，连结 OE，OF，
DE，DF，那么∠EDF等于___.
2、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC 的内切圆的半径为__2___．——直角三角形内切圆半径
公式
【例 6】中考模拟题
【题型一】切线性质，求角度
1、已知△ABC中，点 D是 BC边上一点，以 AD为直径的⊙O与 BC相切于点 D，与 AB、AC分别交于点 E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF＝52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若 EF经过点 O，且∠AEF＝35°，求∠B的度数．——已知角度求角度（圆心角和圆周角）
2、在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OA⊥CD 于点 E，过点 B 作⊙O 的切线 BF 交 CD 的延长线于点
F.——已知角度求角度（垂径定理）
（I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF 的大小
（II）如图②，连接 BD，AC，若∠F=36°，AC//BF，求∠BDG 的大小。
3、已知 A，B，C 是⊙O 上的三个动点，四边形 OABC 是平行四边形，直径 EF⊥AB ，交弧 AB 于点 E，H 为垂
足，连接 AF．——已知无角度求角度，找特殊三角形
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（1）如图①，求∠AFE 的大小；
（2）如图②，经过点 C 作⊙O 的切线，与 AE 的延长线交于点 P，求∠APC 的大小.
4、从⊙O外一点 A引⊙O的切线 AB，切点为 B，连接 AO并延长交⊙O于点 C、点 D．连接 BC．
（1）如图 1，若∠A=26°，求∠C的度数；
（2）如图 2，若 AE平分∠BAC，交 BC于点 E．求∠AEB的度数．——已知无角度求角度，设未知数
【题型二】构造直径所对的圆周角
1、已知=在△ABC中，以 AC边为直径的⊙O 交 BC于点 D，在劣弧 AD上取一点 E使∠EBC=∠DEC，延长 BE依
次交 AC于点 G，交⊙O于 H.
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于 10，BD=8，求 CE的长.
2、已知△ABC中，BC=5，以 BC为直径的⊙O交 AB边于点 D.
（1）如图 1，连接 CD，则∠BDC的度数为___；
（2）如图 2，若 AC与⊙O相切，且 AC=BC，求 BD的长；
（3）如图 3，若∠A=45°，且 AB=7，求 BD的长.
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【题型三】切线相关
1、如图，已知 AB是圆 O的直径，锐角∠DAB的平分线 AC交⊙O于点 C，作 CD⊥AD，垂足为 D，直线 CD与 AB
的延长线交于点 E.
（1）求证：直线 CD为⊙O的切线；——平行证垂直
（2）当 BE=OB，且 CE= 3 时，求 AD的长.
2、如图，BE 是⊙O的直径，点 A 在 EB 的延长线上，弦 PD⊥BE，垂足为 C，连接 OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP 是⊙O 的切线；——利用角度证垂直
（2）若⊙O半径为 4，AP=4√3，求 BP 的长．
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24.3 正多边形和圆
1、相关定义：
我们把一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每
一边所对的圆心角叫正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
2、补充知识点：
【例 1】边长为 2 的正六边形 ABCDEF 的六条边都和⊙O 相切，则⊙O 的半径为（ ）——已知边长求半径
A．1 B．2 C． 3 D． 2 3
【例 2】等边三角形的边心距为√3。则该等边三角形的边长是（）——已知边心距求边长
A．3√3 B．6 C．2√3 D．2
【例 3】⊙O 的半径等于 3，则⊙O 的内接正方形的边长等于（ ）——已知半径求边长
A．3 B．2 2 C． 3 2 D．6
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【例 4】圆内接正六边形的周长为 24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ）——周长关系
A．12 3 B．6 3 C．12 D．6
【例 5】如图，△ABC和△DEF分别是 O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为( )——面积关系
A. 4 B. 2 C. √2 D. √3
24.4 弧长和扇形面积
1、弧长和扇形面积公式：
2、圆锥：
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【例 1】在半径为 2cm 的圆中，圆心角为 120°的扇形的弧长是 __________cm．——直接公式计算弧长
【例 2】如图，△ABC内接于 O，若 O的半径为 6，∠A=60 ，则弧 BC的长为( )——先求角度再计算弧长
A. 2π B. 4π C. 6π D. 12π
【例 3】如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD变形为以 A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝
的粗细)，则所得扇形 DAB的面积为____——扇形面积计算
【例 4】小刚用一张半径为 24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的
圆锥形小丑帽子的底面半径为 10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）——扇形和圆锥的关系，可推到
公式
A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2
【例 5】如图，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，
点 P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）——割补法求面积
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A．4- B．4- C．8- D．8-
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【例 6】如图，在扇形 AOB中，∠AOB=90 ，半径 OA=6，将扇形 AOB沿过点 B的直线折叠，点 O恰好落在弧 AB
上点 D处，折痕交 OA于点 C，则整个阴影部分的面积为( )——特殊图形割补
A.9π 9 B.9π 6√3 C.9π 18 D.9π 12√3
【例 7】如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A、B 在⊙O 上，顶点 C、D 在⊙O 内，将正方形 ABCD 绕点 A 逆时
针旋转，使点 D 落在⊙O 上。若正方形 ABCD 的边长和⊙O 的半径均为 6cm，则点 D 运动的路径长为
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A. 2πcm B. πcm C. πcm D. πcm——拔高练习
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