人教版数学九年级上册 22.1.2 二次函数图象和性质 课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
22.1.2二次函数y=ax 和y=ax +k的图像和性质
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
⑤
④
③
②
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 …
y=x2 … …
9
4
1
1
0
4
9
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
描点,连线
y=x2

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
议一议
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(3)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的？
观察图象,回答问题：
x
y
O
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点？
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
做一做
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x 　 　 　 　 　 　 　
y=-x2 　 　 　 　 　 　 　 　
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 　 　 　 　 　 　 　 　
x 　 　 　 　 　 　 　
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
在学中做—在做中学
做一做
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2

当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大.
当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小.
y
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
当x=1时,y= -1
当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
画一画
在同一坐标系中画出函数y=3x2和y=-3x2的图象
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,
在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,
y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小
值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,
当x 0时,y<0.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
解:(1) 列表
… 9 4 1 0 1 4 9 …
(2) 描点
(3) 连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
你还记得描点法的一般步骤
列表时应注意
什么问题？
描点法
列表
描点
连线
描点时应以哪些数值作为点的坐标？
连线时应注意什么问题？
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，
　　
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
抛物线 与它的对称轴的交点
（0，0）叫做抛物线 的顶点
它是抛物线 的最低点．
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
对称轴是y轴
这条抛物线是轴对称
图形吗？如果是，
对称轴是什么？
抛物线与对称轴
有交点吗？
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
1
2
x
y=2x2
8
…
…
…
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点
1
2
共同点:
不同点:
开口都向上;
顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a|越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小。
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
抛物线的开口越小。
探究
画出函数 的图象．
x
1
y
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=－x2
y=－　x2
y=－2x2
1
2
…
…
…
…
…
…
-４
-2.25
-１
-0.25
０
０
０
-0.25
-１
-2.25
-４
-2
-2
-８
-８
-２
-２
-０.５
-０.５
-０.５
-０.５
-１.１２５
-１.１２５
-０.１２５
-０.１２５
-4. 5
-4. 5
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
x
1
y
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
函数y=－ x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2
(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点
1
2
共同点:
开口都向下;
不同点:
顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a| 越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口越小．
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象
向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象
可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的
抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的
抛物线的函数式是 。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得
y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个
单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
上
5
下
11
下
4
上
7
上
9
y=4x2+3
y=-5x2-4
对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
在同一坐标系内,抛物线 与
抛物线 是关于x轴对称的.
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
解: 列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2+1
y=x2-1
… 10 5 2 1 2 5 10 …
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
y=x2－1
描点
连线
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系
（1）抛物线y=x2+1:
开口向上,
顶点为(0,1).
对称轴是y轴,
抛物线y=x2－1:
开口向上,
顶点为(0, －1).
对称轴是y轴,
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
y=x2－1
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
向上
y轴
(0,k)
减小
增大
0
小
k
向下
y轴
(0,k)
增大
减小
0
大
k
观
察
思
考
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 .
（5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
下
y轴
(0,5)
减小
增大
0
大
5
上
y轴
(0,-3)
减小
增大
0
小
-3
y=2x2-3
(-2, 5)
或
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
图
象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口就越小.
|a|越小,
抛物线的开口就越大.
1、二次函数y=ax2的图象是什么？
2、二次函数y=ax2的图象有何性质？
3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
小结
归纳
二次函数 的图象及性质：
1.图象是一条抛物线，对称轴是y轴，
顶点是原点。
归纳
二次函数 的图象及性质：
2.当a>0时，开口向上，顶点是最低点，
a值越大，抛物线开口越小；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
归纳
二次函数 的图象及性质：
3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点，
a值越大，抛物线开口越大；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
巩固
1、说出下列函数图象的性质：
2、已知二次函数 的图形经
过点(-2，-3)。
(1)求a的值，并写出函数解析式；
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
巩固
巩固
3、若抛物线 的开口
向下，求n的值。
巩固
4、若抛物线 上点P的坐标为
(2，-24)，则抛物线上与P点对称的点
P’的坐标为 。
巩固
5、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
y1、 y2、y3的大小关是 。
(m+3，y3)在抛物线 上，则
练习
1.把抛物线 向下平移2个单位，可以得到抛物线 ，再向上平移5个单位，可以得到抛物线 ；
2.对于函数y= –x2+1，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数取得最 值,为 。
＜0
＞0
=0
大
0
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
C
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )
x1
x2
x3
x4
y1
y4
y3
y2
A.y1>y2>y3>y4
B.y2>y1>y3>y4
C.y3>y2>y4>y1
D.y4>y2>y3>y1
B
（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+c B. a-c C. –c D. c
D
(3) 函数y=ax2-a与y=
在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）
A
(4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？