24.2 点和圆.直线和圆的位置关系同步练习（含答案）

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24.2点和圆.直线和圆的位置关系人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图，与相切于点，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
如图，，是的切线，，是切点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，点为的内心，，，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法：
；
；
四边形有外接圆；
是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
如图，正方形的边长为，点是边上的一点，将沿着折叠得若，恰好都与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为( )
A. 、
B.
C.
D.
如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分即四边形的面积是( )
A. B. C. D.
如图，在平整的桌面上面一条直线，将三边都不相等的三角形纸片平放在桌面上，使与边对齐，此时的内心是点；将纸片绕点顺时针旋转，使点落在上的点处，点落在处，得到的内心点下列结论正确的是( )
A. 与平行，与平行
B. 与平行，与不平行
C. 与不平行，与平行
D. 与不平行，与不平行
如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接若，且，则的长度是( )
A. B. C. D.
如图，由个边长为的小正方形组成的“”形，圆经过其顶点、、，则圆的半径为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且点为上的动点，，则长度的最大值为______．
如图，在等边中，，如果以为直径的和以为圆心的相切，那么的半径的值是______．
如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48分）
如图，是的外接圆，，的切线与的延长线相交于点．
如图，若，求的大小；
如图，若，，求的长．
如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
在中，，，的平分线交与点，交于点．
设是的外接圆，求证：是的切线；
设交于点，连结，求的值．
如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
求证：；
连接，过点作，交的延长线于点，延长，交于点若为的中点，求证：直线为的切线．
如图，是的直径，为延长线上一点，切于，于点．
求证：；
如果，，求线段的长．
如图所示，以的边为直径作，点在上，是的弦，，过点作于点，交于点，过作交的延长线于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
连接、，由切线的性质知，从而得，由内角和定理知，根据圆周角定理可得答案．
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
【解答】
解：如图，连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：连接，
，是的切线，，是切点，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据四边形的内角和等于得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由、是的切线，可得．
3.【答案】
【解析】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
而，
．
故选：．
连接，如图，根据切线的性质得到，则利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
4.【答案】
【解析】解：过点作于点．
点为的内心，，
，
，
则，
，
，，
，
的面积，
故选：．
过点作于点由点为的内心，，得，则，由，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，是的两条切线，，为切点，
，所以正确；
，，
垂直平分，所以正确；
，是的两条切线，，为切点，
，，
，
点、在以为直径的圆上，
四边形有外接圆，所以正确；
只有当时，，此时，
不一定为外接圆的圆心，所以错误．
故选：．
利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当时，，此时，则可对进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．
6.【答案】
【解析】解：连接，
为正方形的中心，
，
与都为的切线，
平分，即，
，即，
沿着折叠至，
，
，
在中，，
，
故选：．
连接，由为正方形的中心，得到，根据切线长定理得到平分，可得出，由折叠可得，再由正方形的内角为直角，可得出为，根据余弦的定义计算，得到答案．
本题主要考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理、切线长定理以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，
为直角三角形，，
、与分别相切于点、
，，
四边形为正方形，
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
阴影部分即四边形的面积是．
故选：．
利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出后可计算出阴影部分即四边形的面积．
本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接、、、，
三角形纸片绕点顺时针旋转，
，
，
，
的内心是点，
，
，，
，
，
；
，
，
与不平行．
所以与平行，与不平行．
故选：．
如图，连接、、、，根据旋转可得三角形是等腰三角形，可得，再根据的内心是点，可得，从而，可以判断；根据，可得，即可判断与不平行，即可得结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心、平行线的判定、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是的切线，为切点，
，
，
和是半径，
，
，
，
∽，，
：：，
，
即，
设，
，
，，，
，解得负值舍去，
，，
，
，
故选：．
连接，则，由勾股定理可知，，由和是半径，所以，所以∽，，可得，所以，设，则，，，所以，求出的值，即可求出和的长，进而求得的长．
本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，得出∽是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：取的中点，作，取圆心，连接，，则，
小正方形的边长为，
，，，
设，则，
由勾股定理可得：，，
，
即，
解得，
，
故选：．
取的中点，作，取圆心，连接，，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解．
本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键．
连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为．
【解答】
解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，
，
，
以点为圆心的圆与轴相切．
的半径为，
，
，
是直径，
长度的最大值为，
故答案为．
12.【答案】或
【解析】解：连接，如图，
是等边三角形，
，．
为的中点，
，，
的半径为，
．
以为直径的和以为圆心的相外切时，
，
．
以为直径的和以为圆心的相内切时，
，
．
综上，如果以为直径的和以为圆心的相切，那么的半径的值是或．
故答案为：或．
分两圆外切和两圆内切两种情形讨论解答：利用相切时圆心距与利用半径的关系列出方程即可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质，两圆相切的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，
是直径，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上运动，
当，，共线时，的值最小，
在中，，，
，
，
当，两点距离最小时，动点的运动路径长
故答案为：
如图，取的中点，首先证明，推出点在以为直径的上运动，当，，共线时，的值最小，解直角三角形求出可得结论．
本题考查轨迹，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是正确判断出点的运动轨迹，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：如图，当过点，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，
过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接，
，
，
，，，
，
由，
设，则，
，
解得，
即，
在中，，
故答案为：．
根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
15.【答案】解：如图，连接，
是的切线，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
解得，
，
；
过点作于，过点作于，连接，如图，
设的半径为，则，，
是的切线，
，
，
在中，，
解得，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【解析】如图，连接，根据切线的性质得到，再证明四边形为平行四边形，则，接着根据圆周角定理得到，则利用可计算出，然后利用平行线的性质得到的度数；
过点作于，过点作于，连接，如图，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，，再利用面积法求出，则，接着利用勾股定理计算出，然后根据垂径定理可得到的长度．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．
16.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
，且是半径，
是的切线；
在中，，
，
不合题意舍去，，
的半径为．
【解析】由等腰三角形的性质和垂径定理可求，可得结论；
由勾股定理可求解．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了垂径定理．
17.【答案】证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
又，
，
即，
是半径，
是的切线．
解：，是的外接圆，
是的直径．
设的半径为，
，
．
，
∽．
，即，
，
又是的直径，
∽．
．
【解析】连接，证即可．
可通过∽，从而根据相似比求得：的值．
本题考查的知识点是切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等，证明切线方法之一是知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直，之二是不知道过圆上一点，作垂直证半径．
18.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
；
如图，连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
为半径，
直线为的切线．
【解析】连接，首先利用垂径定理得，知，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
连接，首先由点为的中点，可得，则，再利用圆的性质，可说明，，从而得出，从而证明结论．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
19.【答案】证明：连接，如图，
切于，
，
，
，
，
，
，
；
解：设的半径为，则，
在中，，
解得，
，
，
∽，
，即，
．
【解析】连接，如图，根据切线的性质得到，再证明得到，加上，从而得到；
设的半径为，利用勾股定理得到，解方程得到，然后证明∽，则利用相似比可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
20.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
是的切线；
证明：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】连接，先证得，根据垂径定理得到，根据推出，即可得到结论；
根据圆周角定理得出，然后根据同角的余角相等得出，即可证得，根据同角对等边即可证得结论；
连接，根据圆周角定理得出，即可求得，根据圆周角定理得出，解直角三角形求得，然后根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得的值．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
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