24.3 正多边形和圆同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
24.3正多边形和圆人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图，等边三角形和正方形都内接于，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为．( )
A.
B.
C.
D.
如果一个矩形经过一个多边形的各顶点，那么我们把这个矩形叫做这个多边形的外接矩形，如图，矩形是正六边形的外接矩形，如果正六边形的边长为，那么矩形长边与短边的比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，正六边形内接于，点在上，则的度数为( )
B.
C.
D.
如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为的正六边形的顶点处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向秒钟跳个顶点，黑跳棋按逆时针方向秒钟跳个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A. B. C. D.
如图，、分别为的内接正方形、内接正三边形的边，是圆内接边形的一边，则等于( )
A.
B.
C.
D.
如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为( )
A. B. C. D.
如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若，，则的面积为( )
B.
C.
D.
如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，已知点是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为，那么的面积等于______．
如图，边长为的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，将正六边形绕原点逆时针旋转次，每次旋转，当时，顶点的坐标为______．
正五边形的的对角线、相交于点，则的度数是______．
如图，与正五边形的边，分别相切于点，．
连接，则的度数为______；
若内接于，则的度数为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48分）
如图，外接于正方形，为弧上一点，且，，求正方形的边长和的长．
如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆．用无刻度的直尺完成以下画图：不写画法
在图中画的一个内接正六边形；
在图中画的一个内接正八边形．
如图，已知正七边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．保留作图痕迹
在图中，作正七边形的中心；
在图中，作以为对角线的菱形．
如图，正三角形的边长是，求此正三角形的半径、边心距和面积．
如图，六边形是的内接正六边形．
求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分．
设的面积为，六边形的面积为，求的值结果保留．
如图，正六边形为的内接正六边形．
若的半径为求正六边形的周长和面积．
点在弧上，恰好是内接正十边形的一边，恰好是内接正边形的一边，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接、、，过作于，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接、、，过作于，如图所示：
则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是理解点到这个正六边形六条边的距离之和即为当点为正六边形的中心到六条边的距离之和．
根据题意可得点到这个正六边形六条边的距离之和，即为当点为正六边形的中心时，点到六条边的距离之和，即可解答．
【解答】
解：如图，当点是正六边形的中心时，
连接、，过点作于点，延长交于点，
则点到这个正六边形六条边的距离之和即为的长．
根据正六边形的性质可知：
是等边三角形，
，
，
，，
，
．
点到这个正六边形六条边的距离之和为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：正六边形，
，
，
在中，，，
，，
由对称性可知，，，
，，
矩形长边与短边的比是：：，
故选：．
根据正六边形、矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出矩形的长边与短边，进而求出答案．
本题考查正多边形与圆，矩形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形的性质、矩形的性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
4.【答案】
【解析】解：连接，，，
多边形是正六边形，
，
，
，
故选：．
由正六边形的性质得出，由圆周角定理求出．
本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：红跳棋从点按顺时针方向秒钟跳个顶点，
红跳棋每过秒返回到点，
，
经过秒钟后，红跳棋跳回到点，
黑跳棋从点按逆时针方向秒钟跳个顶点，
黑跳棋每过秒返回到点，
，
经过秒钟后，黑跳棋跳到点，
经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是．
故选：．
分别计算红跳棋和黑跳棋过秒钟后的位置，红跳棋跳回到点，黑跳棋跳到点，可得结论．
本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：连接，，．
、分别为的内接正方形、内接正三边形的一边，
，，
，
，
故选：．
根据正方形以及正三边形的性质得出，，进而得出，即可得出的值．
此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：是的直径，五边形是的内接正五边形，
，，，
，
，
，
故选：．
正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：如图，
设圆的圆心为，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点．
过作于，则必过点，且；
设的边长为，则，，；
正方形的边长为：，面积为，三个正方形的面积和为；
易求得的面积为：，
等边三角形与三个正方形的面积和的比值为，
故选A．
由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比．
此题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质以及图形面积的求法，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，正五边形，则，，
在中，，
，
，
如图，由上述解法可得，，，
又，
，
又，，
，，
故选：．
利用正多边形的面积的计算方法用边长和中心角的三角函数表示其面积，再根据勾股定理得出，代入计算即可．
本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握用正多边形的边长和中心角的三角函数表示其面积是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在正五边形中内角和：，
，
不符合题意；
以为边向内作正，
，，
，
，，
、不符合题意；
，
符合题意；
故选：．
根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以为边向内作正，得出，，从而选择正确选项．
此题主要考查正多边形的计算问题、等边三角形的性质，掌握正多边形定义及内角和公式、等边三角形的性质的综合应用是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，
正六边形的每个内角的度数为：，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
连接，先利用正六边形的性质和等腰三角形的性质可求出，进而可判断出；再利用平行线的性质：两平行线之间的距离处处相等可得，即可计算出的面积；最后再次利用该平行线的性质可得计算即可得答案．
本题主要考查正多边形的性质和平行线的性质，掌握等高不等底的两个三角形面积之比等于底之比是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，连接，
在正六边形中，，
是等腰三角形，，
，，
，
正六边形绕原点逆时针旋转次回到原位置，
，
当时，顶点的坐标为，
故答案为：．
连接，根据正多边形的性质得，，根据勾股定理求出，根据规律解答即可．
本题考查的是正多边形与圆，旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转的性质是解决此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图所示：
五边形为正五边形，
，，
，
，
故答案为：．
首先根据正五边形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的外角的性质得到．
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
14.【答案】 或
【解析】解：如图，连接，，
五边形是正五边形，
．
、与相切，
，
，
故答案为：；
如图，五边形是正五边形，
．
、与相切，
，
，
，
，
故的度数为或，
故答案为：或．
如图，连接，根据五边形的性质得到根据切线的性质得到，于是得到结论；
根据正五边形的性质得到根据切线的性质得到，求得，根据圆周角定理即可得到结论．
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
15.【答案】解：连接，作于，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
是的直径，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
正方形的边长为的长为．

【解析】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
连接，作于，由正方形的性质得出，，，由圆周角定理得出是的直径，是等腰直角三角形，得出，，由勾股定理得出，得出，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，再由勾股定理得出，即可得出的长．
16.【答案】解：如图所示，
如图，正六边形即为所求；
如图，正八边形即为所求．
【解析】
【分析】
设的延长线与圆交于点，根据正六边形的性质，点即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；
先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
【详解】
设的延长线与圆交于点，
根据圆的内接正六边形的性质，点即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点和；同理：在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点和，连接、、、、、，如图，正六边形即为所求．
圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为
在如图所示的正方形中，连接对角线并延长，交圆于点，此时；，
的延长线与圆的交点即为点
同理，即可确定点、、、、的位置，顺次连接，
如图，正八边形即为所求．
【点睛】
此题考查的是画圆的内接正六边形和内接正八边形，掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键．

17.【答案】解：如图所示，点即为所求．
如解图，四边形即为所求；．

【解析】本题考查作图复杂作图，菱形的判定，正多边形与圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
作出正七边形的两条对称轴，两条对称轴的交点即为所求．
连接，交于点，四边形即为所求．
18.【答案】解：如图，设点是正三角形的中心，
连接，，过点作于点，
则，，
，，
．
在中，，
．
，
．
．
．
．
此正三角形的半径是，边心距是，面积是．

【解析】见答案
19.【答案】证明：如图，连接，，，
六边形是的内接正六边形，
，
，
，
过顶点的三条对角线四等分；
解：如图，过作于，连接，
设的半径为，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
正六边形的面积，
的面积，
．
【解析】如图，连接，，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论；
如图，过作于，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：连接，，
六边形是圆内接正六边形，
，
，
是正三角形，
，
正六边形的周长为，
，
，
答：正六边形的周长为，面积为；
连接，
是正十边形的边长，
，
，
是圆内接正边形的边长，
，
解得．
【解析】本题考查正多边形和圆，掌握圆内接正边形中心角等于是正确解答的关键．
求出圆内接正六边形的中心角度数，进而得出是正三角形，得出边长和半径相等为，进而求出周长，利用三角函数求出三角形的高，进而求出三角形的面积，可求出六边形的面积；
根据中心角的度数边数，列式计算分别求出，的度数，根据中心角的计算方法求出答案即可．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)