2.2.3直线的一般式方程-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析）
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| 名称 | 2.2.3直线的一般式方程-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（学案+练习）（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-19 18:49:05 | ||
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文档简介
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2.2.3 直线的一般式方程
【考点梳理】
考点一 直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
思考 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
答案 都可以，原因如下：
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
知识点二 直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
思考 当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
答案 (1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
知识点三 直线各种形式方程的互化
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【题型归纳】
题型一： 由一般式方程判断直线的平行
1．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
2．若直线与直线平行，则实数等于（ ）
A． B． C．或 D．
3．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二： 由一般式方程判断直线的垂直
4．直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
5．直线：和直线：（）的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
6．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
题型三：由两条直线平行求方程
7．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．直线l在x轴上的截距为1
C．若直线m：，则
D．过与直线l平行的直线方程是
9．平行于直线且过点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型四：由两条直线垂直求方程
10．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
题型五：直线一般方程的应用
13．在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
14．已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
15．已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【双基达标】
16．直线过定点（ ）
A． B． C． D．
17．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
18．一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
19．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
20．已知直线与直线分别过定点，B，且交于点，则的最大值是（ ）
A． B．5 C．8 D．10
21．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值（ ）
A． B． C．6 D．3
23．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
24．下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
25．直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不对
26．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
27．已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
28．若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．0或 D．1或
29．已知点，，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
30．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【高分突破】
31．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
32．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线l的斜率可以等于0 B．直线l的斜率有可能不存在
C．直线l可能过点 D．若直线l的横纵截距相等，则
35．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0 ，下列命题中正确的有（ ）
A．当m＝3时，l1与l2重合 B．若l1l2，则m＝0
C．当m≠3时，l1与l2相交 D．若l1⊥l2，则m＝
36．已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则直线l不过原点
B．若，则直线l必过第四象限
C．若直线l不过第四象限，则一定有
D．若且，则直线l不过第四象限
37．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
三、填空题
38．已知点，，且直线与线段AB有公共点，则实数k的取值范围为________．
39．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________.
40．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
41．直线与轴的交点是，若该直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率是_______________．
42．直线经过的定点为_______
43．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
四、解答题
44．已知两点，，求线段AB的垂直平分线的方程．
45．画出直线，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．
46．如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为．
（1）求的面积；
（2）求斜边AB中点D的坐标．
47．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
把直线化简后即可判断.
【详解】
直线可化为，
所以直线与直线的位置关系是重合.
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
利用一般式方程判定直线平行的条件进行求解.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，解得.
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或.
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解.
【详解】
由题意，得，解得.
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
讨论和两种情况，再由斜率关系得出两直线位置关系.
【详解】
当时，直线：与直线：相互垂直；
当时，直线方程可化为，直线方程可化为
因为，所以直线与直线相互垂直
故选：B
6．D
【解析】
【分析】
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
7．A
【解析】
【分析】
由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.
【详解】
因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：，
又所求直线过点，代入可得，解得，
所以所求直线为，即.
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B. 令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D. 设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
9．D
【解析】
【分析】
根据平行线斜率的性质，结合代入法进行求解即可.
【详解】
与直线平行的直线可设为：，直线过点，
所以有，
故选：D
10．B
【解析】
【分析】
求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】
直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
由垂直得直线斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即得．
【详解】
直线的斜率为，直线与之垂直，则，
又过点，所以直线方程为，即．
故选：A．
12．B
【解析】
【分析】
根据所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果.
【详解】
因为，，故可得所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的斜率，又其过点，
故其方程为，整理得：.
故选：B.
13．A
【解析】
【分析】
根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】
由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
14．C
【解析】
将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及轴上的截距的正负判断直线经过的象限.
【详解】
等价于，
根据题意，故直线必经过第一、三象限；
又因为，故直线必经过第三、四象限，
故直线必经过第一、三、四象限.
故选：C.
【点睛】
本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.
15．D
【解析】
由恒成立得可得定点.
【详解】
由得，
因为恒成立，
所以 解得 所以恒过定点
故选：D
16．C
【解析】
【分析】
将直线方程变形，可得出关于、的方程组，即可解得定点坐标.
【详解】
直线方程可化为，由，解得，
因此，直线过定点.
故选：C.
17．D
【解析】
根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
18．B
【解析】
【分析】
根据题意分析出反射光线过直线与轴的交点，且倾斜角与直线的倾斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】
令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
根据直线的一般式求得直线的斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得选项.
【详解】
设直线的倾斜角为，由，又，所以．
故选：A.
20．D
【解析】
先根据直线方程求出的坐标，再根据两条直线垂直得到，利用基本不等式可求的最大值.
【详解】
因为，故，
因为，故，
因为，故，故，
因为，故，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证.
21．D
【解析】
【分析】
根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.
【详解】
将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解.
22．C
【解析】
求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.
【详解】
直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即
整理得
解得，当且仅当时取得最大值.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线恒过定点问题，直线位置关系的判断，以及利用均值不等式求解最值，属综合题.
23．C
【解析】
【分析】
根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】
因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
24．D
【解析】
【分析】
讨论和两种情况可得.
【详解】
直线可化为．
当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；
当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
25．A
【解析】
【分析】
由已知直线方程，直接判断它们的位置关系即可.
【详解】
是表示轴的直线，表示轴的直线，两条直线互相垂直．
故选：A．
26．B
【解析】
【分析】
先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】
已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
27．B
【解析】
【分析】
令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得的最小值.
【详解】
直线，即，过定点，
点在直线上，，
，
故当时，取得最小值为，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.
28．D
【解析】
【分析】
利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出的值．
【详解】
，
，即，
解得或.
故选：D．
【点睛】
本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，求解时注意与垂直这一条件的应用.
29．B
【解析】
由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可．
【详解】
由中点坐标公式可得的中点为，
又直线的斜率，线段的垂直平分线的斜率，
所求直线的方程为：，即.
故选：B.
30．D
【解析】
【分析】
根据AB<0，BC<0，分别判断直线Ax＋By＋C＝0的斜率和在y轴上的截距的符号即可
【详解】
因为AB<0，
所以直线Ax＋By＋C＝0斜率，
又因为BC<0，
所以直线的y轴上的截距，
所以那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第四象限,
故选：D
【点睛】
本题主要考查确定直线完整的几何要素斜率和截距，属于基础题.
31．B
【解析】
根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】
由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
32．A
【解析】
【分析】
直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】
设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】
本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
33．B
【解析】
【分析】
设直线方程为，，将点代入即可求解.
【详解】
设直线方程为，，
直线过点，
代入直线方程的，得，
则所求直线方程为，
故选：B．
34．BCD
【解析】
【分析】
根据直线方程判断斜率AB，代入点的坐标可判断直线是否过一点判断C，求出横纵截距可判断D．
【详解】
时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A错；B正确；
，解得，C对；
时，纵截距不存在，时，令得，令，，由得，D正确．
故选：BCD．
35．AD
【解析】
【分析】
A中将m值代入验证即可；B中由两线平行的充要条件知，可求m值；C中由B所得m值，当时l1l2，即可排除；D中由垂直的充要条件知求值判断其正误.
【详解】
A：当m＝3时，直线为，直线为，即两线重合，故正确；
B：l1l2时，有，解得或（重合舍去），故错误；
C：由B知，当m≠3，时，l1l2，故错误；
D：l1⊥l2时，，即，故正确；
故选：AD
36．ABD
【解析】
【分析】
根据直线一般式的特点依次判断即可.
【详解】
对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确；
对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确；
对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误；
对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确.
故选：ABD.
37．ABC
【解析】
【分析】
对于选项A，分和两种情况，将直线方程化为关于的二元一次方程（不同时为0），可知正确；
对于选项B，将原点代入方程，可知正确；
对于选项C，将方程化为，可知正确；
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，可知错误.
【详解】
对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，
当时，直线的斜率存在，其方程可写成，
它可变形为，与比较，
可得，显然不同时为0，
当时，直线方程为，与比较，
可得，显然不同时为0，所以此说法是正确的.
对于选项B，当时，方程（不同时为0），
即，显然有，即直线过原点.故此说法正确.
对于选项C，当时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，故此说法正确.
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，故此说法错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了直线方程一般式的概念，考查了直线方程的一般式与其它四种形式的互化，属于基础题.
38．或
【解析】
【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．
【详解】
解：直线，即，令x 1＝0，求得x＝1，y＝1，可得直线l经过定点M（1，1）．
如图：
∵已知MA的斜率为，MB的斜率为
直线l：与线段AB相交，
或，
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的位置关系，属于基础题．
39．2x＋y－14＝0
【解析】
求出直线AB的斜率，即可得出高的斜率，由点斜式即可求出.
【详解】
由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，
故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.
故答案为：2x＋y－14＝0.
40．
【解析】
【分析】
由已知得出直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，根据两点的斜率公式可求得答案.
【详解】
由x＋my＋m＝0得，x＋m（y＋1）＝0，所以直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，如下图所示，kAP＝＝－2，kAQ＝＝，
则－≥(m＜0)或－≤－2(m＞0)，所以－≤m≤且m≠0．当m＝0时，
直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，所以实数m的取值范围是－≤m≤．
故答案为：
【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
41．
【解析】
【分析】
设直线的倾斜角为，易得直线的斜率为，设所得直线的倾斜角为，则直线的斜率由求解.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
直线与轴的交点是，
设该直线绕点逆时针旋转得到直线的倾斜角为，
则直线的斜率是，
故答案为：-3
42．
【解析】
【分析】
把直线化为，结合方程组，即可 求解.
【详解】
由题意，直线可化为，
又由，解得，即直线过定点.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.
【详解】
因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
【点睛】
本题考查斜率与倾斜角关系、由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
44．
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可.
【详解】
因为两点，，
所以线段中点坐标为，，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：，
整理得：.
45．在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；在直线上的点，坐标代入，值等于；
【解析】
【分析】
画出直线的图象，分别在直线的两边取点，代入即可判断.
【详解】
画出直线的图象，如图：
取点，
把点代入直线方程，
代入分别为与；
将代入分别为与；
可得如下规律：
在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；
在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；
在直线上的点，坐标代入，值等于；
46．（1）20（2）
【解析】
【分析】
（1）求出直角顶点到斜边的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论；
（2）由，可求出直线方程，与直线方程联立，即可求出点坐标.
【详解】
（1）顶点到斜边的距离为.
所以斜边，
故的面积为．
（2）由题意知，，设直线方程为
点代入方程点，
所以直线的方程为，
由，解得，
所以点的坐标为．
【点睛】
本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题.
47．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【解析】
【分析】
（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】
（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
试卷第1页，共3页
2.2.3 直线的一般式方程
【考点梳理】
考点一 直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
思考 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
答案 都可以，原因如下：
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
知识点二 直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
思考 当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
答案 (1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
知识点三 直线各种形式方程的互化
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【题型归纳】
题型一： 由一般式方程判断直线的平行
1．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
2．若直线与直线平行，则实数等于（ ）
A． B． C．或 D．
3．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二： 由一般式方程判断直线的垂直
4．直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
5．直线：和直线：（）的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
6．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
题型三：由两条直线平行求方程
7．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．直线l在x轴上的截距为1
C．若直线m：，则
D．过与直线l平行的直线方程是
9．平行于直线且过点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型四：由两条直线垂直求方程
10．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
题型五：直线一般方程的应用
13．在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
14．已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
15．已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【双基达标】
16．直线过定点（ ）
A． B． C． D．
17．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
18．一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
19．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
20．已知直线与直线分别过定点，B，且交于点，则的最大值是（ ）
A． B．5 C．8 D．10
21．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值（ ）
A． B． C．6 D．3
23．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
24．下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
25．直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不对
26．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
27．已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
28．若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．0或 D．1或
29．已知点，，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
30．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【高分突破】
31．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
32．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线l的斜率可以等于0 B．直线l的斜率有可能不存在
C．直线l可能过点 D．若直线l的横纵截距相等，则
35．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0 ，下列命题中正确的有（ ）
A．当m＝3时，l1与l2重合 B．若l1l2，则m＝0
C．当m≠3时，l1与l2相交 D．若l1⊥l2，则m＝
36．已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则直线l不过原点
B．若，则直线l必过第四象限
C．若直线l不过第四象限，则一定有
D．若且，则直线l不过第四象限
37．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
三、填空题
38．已知点，，且直线与线段AB有公共点，则实数k的取值范围为________．
39．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________.
40．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
41．直线与轴的交点是，若该直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率是_______________．
42．直线经过的定点为_______
43．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
四、解答题
44．已知两点，，求线段AB的垂直平分线的方程．
45．画出直线，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．
46．如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为．
（1）求的面积；
（2）求斜边AB中点D的坐标．
47．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
把直线化简后即可判断.
【详解】
直线可化为，
所以直线与直线的位置关系是重合.
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
利用一般式方程判定直线平行的条件进行求解.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，解得.
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或.
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解.
【详解】
由题意，得，解得.
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
讨论和两种情况，再由斜率关系得出两直线位置关系.
【详解】
当时，直线：与直线：相互垂直；
当时，直线方程可化为，直线方程可化为
因为，所以直线与直线相互垂直
故选：B
6．D
【解析】
【分析】
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
7．A
【解析】
【分析】
由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.
【详解】
因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：，
又所求直线过点，代入可得，解得，
所以所求直线为，即.
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B. 令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D. 设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
9．D
【解析】
【分析】
根据平行线斜率的性质，结合代入法进行求解即可.
【详解】
与直线平行的直线可设为：，直线过点，
所以有，
故选：D
10．B
【解析】
【分析】
求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】
直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
由垂直得直线斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即得．
【详解】
直线的斜率为，直线与之垂直，则，
又过点，所以直线方程为，即．
故选：A．
12．B
【解析】
【分析】
根据所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果.
【详解】
因为，，故可得所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的斜率，又其过点，
故其方程为，整理得：.
故选：B.
13．A
【解析】
【分析】
根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】
由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
14．C
【解析】
将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及轴上的截距的正负判断直线经过的象限.
【详解】
等价于，
根据题意，故直线必经过第一、三象限；
又因为，故直线必经过第三、四象限，
故直线必经过第一、三、四象限.
故选：C.
【点睛】
本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.
15．D
【解析】
由恒成立得可得定点.
【详解】
由得，
因为恒成立，
所以 解得 所以恒过定点
故选：D
16．C
【解析】
【分析】
将直线方程变形，可得出关于、的方程组，即可解得定点坐标.
【详解】
直线方程可化为，由，解得，
因此，直线过定点.
故选：C.
17．D
【解析】
根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
18．B
【解析】
【分析】
根据题意分析出反射光线过直线与轴的交点，且倾斜角与直线的倾斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】
令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
根据直线的一般式求得直线的斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得选项.
【详解】
设直线的倾斜角为，由，又，所以．
故选：A.
20．D
【解析】
先根据直线方程求出的坐标，再根据两条直线垂直得到，利用基本不等式可求的最大值.
【详解】
因为，故，
因为，故，
因为，故，故，
因为，故，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证.
21．D
【解析】
【分析】
根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.
【详解】
将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解.
22．C
【解析】
求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.
【详解】
直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即
整理得
解得，当且仅当时取得最大值.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线恒过定点问题，直线位置关系的判断，以及利用均值不等式求解最值，属综合题.
23．C
【解析】
【分析】
根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】
因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
24．D
【解析】
【分析】
讨论和两种情况可得.
【详解】
直线可化为．
当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；
当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
25．A
【解析】
【分析】
由已知直线方程，直接判断它们的位置关系即可.
【详解】
是表示轴的直线，表示轴的直线，两条直线互相垂直．
故选：A．
26．B
【解析】
【分析】
先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】
已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
27．B
【解析】
【分析】
令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得的最小值.
【详解】
直线，即，过定点，
点在直线上，，
，
故当时，取得最小值为，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.
28．D
【解析】
【分析】
利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出的值．
【详解】
，
，即，
解得或.
故选：D．
【点睛】
本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，求解时注意与垂直这一条件的应用.
29．B
【解析】
由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可．
【详解】
由中点坐标公式可得的中点为，
又直线的斜率，线段的垂直平分线的斜率，
所求直线的方程为：，即.
故选：B.
30．D
【解析】
【分析】
根据AB<0，BC<0，分别判断直线Ax＋By＋C＝0的斜率和在y轴上的截距的符号即可
【详解】
因为AB<0，
所以直线Ax＋By＋C＝0斜率，
又因为BC<0，
所以直线的y轴上的截距，
所以那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第四象限,
故选：D
【点睛】
本题主要考查确定直线完整的几何要素斜率和截距，属于基础题.
31．B
【解析】
根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】
由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
32．A
【解析】
【分析】
直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】
设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】
本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
33．B
【解析】
【分析】
设直线方程为，，将点代入即可求解.
【详解】
设直线方程为，，
直线过点，
代入直线方程的，得，
则所求直线方程为，
故选：B．
34．BCD
【解析】
【分析】
根据直线方程判断斜率AB，代入点的坐标可判断直线是否过一点判断C，求出横纵截距可判断D．
【详解】
时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A错；B正确；
，解得，C对；
时，纵截距不存在，时，令得，令，，由得，D正确．
故选：BCD．
35．AD
【解析】
【分析】
A中将m值代入验证即可；B中由两线平行的充要条件知，可求m值；C中由B所得m值，当时l1l2，即可排除；D中由垂直的充要条件知求值判断其正误.
【详解】
A：当m＝3时，直线为，直线为，即两线重合，故正确；
B：l1l2时，有，解得或（重合舍去），故错误；
C：由B知，当m≠3，时，l1l2，故错误；
D：l1⊥l2时，，即，故正确；
故选：AD
36．ABD
【解析】
【分析】
根据直线一般式的特点依次判断即可.
【详解】
对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确；
对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确；
对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误；
对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确.
故选：ABD.
37．ABC
【解析】
【分析】
对于选项A，分和两种情况，将直线方程化为关于的二元一次方程（不同时为0），可知正确；
对于选项B，将原点代入方程，可知正确；
对于选项C，将方程化为，可知正确；
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，可知错误.
【详解】
对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，
当时，直线的斜率存在，其方程可写成，
它可变形为，与比较，
可得，显然不同时为0，
当时，直线方程为，与比较，
可得，显然不同时为0，所以此说法是正确的.
对于选项B，当时，方程（不同时为0），
即，显然有，即直线过原点.故此说法正确.
对于选项C，当时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，故此说法正确.
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，故此说法错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了直线方程一般式的概念，考查了直线方程的一般式与其它四种形式的互化，属于基础题.
38．或
【解析】
【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．
【详解】
解：直线，即，令x 1＝0，求得x＝1，y＝1，可得直线l经过定点M（1，1）．
如图：
∵已知MA的斜率为，MB的斜率为
直线l：与线段AB相交，
或，
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的位置关系，属于基础题．
39．2x＋y－14＝0
【解析】
求出直线AB的斜率，即可得出高的斜率，由点斜式即可求出.
【详解】
由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，
故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.
故答案为：2x＋y－14＝0.
40．
【解析】
【分析】
由已知得出直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，根据两点的斜率公式可求得答案.
【详解】
由x＋my＋m＝0得，x＋m（y＋1）＝0，所以直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，如下图所示，kAP＝＝－2，kAQ＝＝，
则－≥(m＜0)或－≤－2(m＞0)，所以－≤m≤且m≠0．当m＝0时，
直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，所以实数m的取值范围是－≤m≤．
故答案为：
【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
41．
【解析】
【分析】
设直线的倾斜角为，易得直线的斜率为，设所得直线的倾斜角为，则直线的斜率由求解.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
直线与轴的交点是，
设该直线绕点逆时针旋转得到直线的倾斜角为，
则直线的斜率是，
故答案为：-3
42．
【解析】
【分析】
把直线化为，结合方程组，即可 求解.
【详解】
由题意，直线可化为，
又由，解得，即直线过定点.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.
【详解】
因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
【点睛】
本题考查斜率与倾斜角关系、由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
44．
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可.
【详解】
因为两点，，
所以线段中点坐标为，，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：，
整理得：.
45．在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；在直线上的点，坐标代入，值等于；
【解析】
【分析】
画出直线的图象，分别在直线的两边取点，代入即可判断.
【详解】
画出直线的图象，如图：
取点，
把点代入直线方程，
代入分别为与；
将代入分别为与；
可得如下规律：
在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；
在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；
在直线上的点，坐标代入，值等于；
46．（1）20（2）
【解析】
【分析】
（1）求出直角顶点到斜边的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论；
（2）由，可求出直线方程，与直线方程联立，即可求出点坐标.
【详解】
（1）顶点到斜边的距离为.
所以斜边，
故的面积为．
（2）由题意知，，设直线方程为
点代入方程点，
所以直线的方程为，
由，解得，
所以点的坐标为．
【点睛】
本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题.
47．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【解析】
【分析】
（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】
（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
试卷第1页，共3页