三角函数复习讲义

三角函数阶段复习
一、课题：三角函数阶段复习
二、教学目标：1.复习巩固三角函数的定义、定义域；
2.进一步理解三角函数的符号与角的终边所在位置的关系；
3.进一步掌握三角函数的基本关系式（五个），并能熟练应用关系式解题。
三、基础训练：
1．已知角的终边过点，则 ， ．
2．若是第四象限角，则是第 象限角，是第 象限角。
3．若，且为二、三象限角，则的取值范围是 ．
4．已知，则 ．
5．已知集合，，
，
则这三个集合之间的关系为 （ ）
四、例题分析：
例1 求值：．
例2 已知，且，求（1）角的集合；（2）、终边所在的象限；（3）试判断，，的符号。
例3 化简：（1）；
（2）（）
例4 证明：（1）；
（2）已知，求证：．
五、课后作业：
1．已知是第二象限角，则 ．
2．若是三角形的内角，且，则此三角形一定是 （ ）
等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
3．若，则角的取值范围是 ．
求证：（1）；
（2）．
已知，，其中，求满足条件的实数的取值的集合。
已知，求的值。三角函数综合训练卷
（120分钟，满分150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．函数y=sin（2-πx）的最小正周期为（ ）
A．1 B．2
C．π D．2π
2．函数的图象（ ）
A．关于原点对称
B．为其对称中心
C．关于y轴对称
D．关于直线对称
3．函数在一个周期内的图象是（ ）
4．已知函数f（x）满足f（x+π）=f（-x），f（-x）=f（x），则f（x）可以是（ ）
A．sin2x B．cosx
C．sin|x| D．|sinx|
5．A为△ABC的一个内角，sinA+cosA的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上为增函数，那么（ ）
A．
B．0＜ω≤2
C．
D．ω≥2
8．函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，那么实数a的值为（ ）
A． B．
C．1 D．-1
9．已知x，y∈R，，则x+2y的最大值为（ ）
A．5 B．4
C． D．6
10．已知，tgx≤-1，函数取得最小值时的最小正数x等于（ ）
A． B．
C． D．
11．方程lgx=sinx的实根个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．函数f（x）=Msin（ωx+）（ω＞0）在区间[a，b]上为增函数，f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+）在[a，b]上（ ）
A．为增函数
B．可以取得最小值-M
C．为减函数
D．可以取得最大值M
二、填空题（每题4分，共16分）
13．函数的最小正周期为1，则实数a的值为____________。
14．方程中[π，2π]内有两个相等的实根，则实数a的取值范围是____________。
15．函数的单调递减区间为____________。
16．下列命题中
①函数y=sinx在第一象限内为增函数。
②只需将函数的图象向左平移个单位即得函数的图象。
③存在实数α使得。
④函数y=sin|x|不是周期函数。
⑤已知f（sinα）=cos6α，则f（cos15°）=0。
其中正确命题的序号为____________。
三、解答题（74分）
17．已知函数，x∈R。
（1）当函数y取最大值时，求自变量x的集合。
（2）该函数图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（12分）
18．已知函数y=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的大致图象如图4-3所示。
（1）试写出其一个函数解析式；
（2）由此图象须经过怎样的变换可得到函数y=sinx的图象？（12分）
19．已知函数f（x）=tan（sinx）。
（1）求证：函数f（x）为奇函数；
（2）指出函数的值域及单调减区间。（12分）
20．将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，如图4-4有两种裁法：让矩形的一边在扇形的一个半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值。（14分）
21．设a＞0，0≤x＜2π，若函数的最大值为0，最小值为-4，求实数a，b的值。（12分）
22．已知定义在（-∞，4]上的减函数f（x），使得对于一切实数均成立，求实数m的范围。（12分）
参考答案
一、1．B2．B3．A4．D5．A
6．C7．A8．D9．C10．A
11．C
12．D
三、13．±2π
14．
15．，k∈Z
16．④⑤
三、17．（1）
（2）略
18．（1），（2）略
19．（1）略
（2）值域为[-tan1，tan1]，单减区间为
20．第二种截法能得到最大面积的矩形，最大面积为
21．a=2，b=-2
22．或
提示与简解：
3．观察正切函数的周期，零点及定义域即可判断出正确的答案。
7．由sinx在上为增函数，可得函数y=sinωx在上为增函数，解不等式时得
。
8．此题可选用选择题的特点用特殊点来代替即可。
由图象关于直线对称，则，
即α=-1。
11．画函数的图象，利用数形结合即可。说明：画图象时须考虑y=sinx有界性，在对数函数图象上找到点
12．此题不妨令f（x）=sin（x），，
则g（x）=cosx，，则显而易见为D。
14．画函数，x∈[π，3π]的图象与y=a的图象，发现有两个交点的a的范围即可。
16．①此命题错误的理由为“第一象限角含有数个单调区间”，例如及，令，，则β>α，但sinβ②由的图象向左平移，实际得函数即的图象。
③由，且
⑤由f（sinα）=cos6α得：f（cos15°）=f（sin75°）=cos（6×75°）=cos450°=0
18．依题意：A=2，由时，2sinx=1，及x=π时sinx=0得，令x=0时，
，①时，ωx+φ=π，②
解得ω=2，。
19．（2）设y=sinx，y=tant，由题意得-1≤t≤1，而[-1，1]，
因此函数y=tant在[-1，1]上为增函数，因此值域为[-tan1，tan1]
要求原函数减区间，只需找t=sinx减区间故
k∈Z为原函数减区间。
20．在图（1）中连OM，记∠POM=θ，
故，
当且仅当时取得。
在图（2）中过O作OD⊥MN于点D，交PQ于点E，连OM，
记∠MOD=θ，
则，
故，
可计算得最大值为，
而。
故第二种截法较好，最大面积为。
22．解：依题意，原不等式等价于
即
对原不等式恒成立，即（4）、（5）恒成立
由（4）得：m+1≤4，即m≤3
由（5）得：
即
即
∴或
即或m=0综合（4）（5）得
m=0或。
[解题点拨]
3．函数图象的把握从五点法入手。如y=0时，，
从而排除两个选项。其次看图象的一个周期是多少即可解决问题。
4．由f（-x）=f（x），说明f（x）为偶函数，即可排除答案。其次选用代入法解决。
5．A为三角形的一个内角∴0∴只要求，x在上的值域。
6．可以画三角函数线来解决问题，也可以讨论来解决。
当cosx=0时满足条件；当cosx≠0时有|tanx|≥1。
7．∵ω>0 而 时是增函数，这就要求 能够包含即可。
8．考虑，
其中。
9．考虑使用换元法。因为
∴设。
即可代入x+2y，转化为三角问题来处理。
10．先求时x的范围。
考虑到取得最小值时，即要1-cosx取得最大值。
11．通过函数图象来解决最恰当，只需考虑0∵lgx有意义时x>0，另当x>10时lgx>1，
再不可能与y=sinx有交点。
12．因f（a）=-M，f（b）=M。而函数在[a，b]上是增函数，
推出M是正数，所以图象从最小值增到最大值，则可以断定
。
∴（因为当f（x）从-M向M递增时，g（x）则先增后减）
可类比y=sinx，y=cosx在同一坐标系上的图象。
13．注意公式的运用：。
14．画在[π，2π]的图象，再利用直线y=a去直观地得出答案。
15．首先有，然后再根据复合函数的单调区间的求法求。
16．①三角函数在某一象限内无增减性。
②将的图象向左平移个单位应为
而非
③，因此它的最值为。
④y=sin|x|是偶函数，可通过画图来理解这个结论。
而当x≥0时，y=sin|x|=sinx，图也应该容易画。
⑤已知的对应法则f只对sinα作用，所以可将f（cos75°）化成f（sin15°）来处理。
17．可通过降次来处理，即，。再利用重要知识，其中来处理。
18．识图能力和作图能力一样重要。首先从最高点上可知A=2，然后用两个已知点在图象上用代入法将ω，给求出来。
19．∵α∈R 的值域就明显了。而f（x）=tanx，g（x）=sinx，f（x）=tan（sinx）是一个复合函数，而f（x）是增函数，所以f（x）=sinx的增区间为y=tan（sinx）的增区间。
20．注意让矩形的边长与已知的扇形的半径R联系起来，从图上来看|OM|=R，再假设一个角θ即可将这个最值问题转化到三角问题处理了。
21．可将其变形为关于sinx的二次函数，然后利用闭区间上二次函数最值，讨论对称轴与区间的关系即可。
22．f（x）定义在（-∞，4]
∴要等价建立起必修4第一章《三角函数》
选择题
1．已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A.B.C的关系是( )
A．B=A∩C B．B∪C=C C．A?C D．A=B=C
2．下列各组角中，终边相同的角是 （ ）
A．与 B．
C． D．
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B． C． D．
4. 已知的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么的值为 （ ）
A． B． C． D．
5. 已知的值为 （ ）
A．－2 B．2 C． D．－
6、已知,且在第三象限，则 ( )
A. B. C. D.
7. 、、的大小关系为 （ ）
A． B．
C． D．
8. 设角的值等于 （ ）
A． B．－ C． D．－
9. 函数在下列哪个区间为增函数. （ ）
A． B． C． D．
10. 函数的单调减区间为 （ ）
A． B．
C． D．
11. 函数的图象的一条对称轴方程是 （ ）
A． B． C． D．
12．已知，则下列结论中正确的是 （ ）
A函数的周期为
B函数的最大值为1
C将的图像向左平移单位后得的图像
D将的图像向右平移单位后得的图像
二、填空题
13、要得到函数的图像。可以由诱导公式先把它变成( ) 然后由的图像先向 平移 个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍, 就可以得到的图像.
14、已知，则=______.
15、设，其中m、n、、都是非零实数，若则 .
16．函数的最小值是
三、解答题
17、化简:
18、求值：
19、求证：
20．设和
求的值.
21、求函数的定义域、值域、单调性、周期性、最值.
22．如图，表示电流强度I与时间t的关系式在一个周期内的图象
⑴试根据图象写出的解析式；
⑵为了使中t在任意一段秒的时内I能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？
参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B C D D C C A B A D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上。
13．,左,,,；14． -2 15. -1 16．
三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解:原式====1
18. 解:原式=
19.证明:左边=
20.
故=+
21.定义域:
值域:
单调增区间:
单调减区间:
周期:
最值:当
当
22.(1)由图可知:,周期T=
当
故图象的解析式为:
(2)要使t在任意一段秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T
即
由于为正整数,故的最小值为629三角函数复习讲义（2）
三角函数的图象和性质
一、复习要点：
1．主要内容：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间），函数的图象和图象变换，已知三角函数值求角。
2．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
3．常用方法：
（1）求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；
（2）求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断。
二、基础训练：
1．将函数的图象向右平移个单位后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
2．函数图象的一条对称轴是直线，则常数与满足（ ）
A． B． C． D．
3．如果、，且，那么必有 （ ）
A． B． C． D．
4．函数，给出下列四个命题，其中正确的是 （ ）
A．的值域为
B．是以为周期的周期函数
C．当且仅当时取得最大值
D．当且仅当时
5．函数的最小正周期是 ．
6．如果、、均为锐角，，，，则从小到大的顺序为 ．
7．设甲：“”，乙：“”，则甲是乙的 条件。
三、例题分析：
例1 已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
例2 若的最小值为 ，
（1）求的表达式；
（2）求使的的值，并求当取此值时的最大值。
四、课后作业：
1．给出下列命题：
①存在实数，使成立；
②存在实数，使成立；
③函数是偶函数；
④直线是函数的图象的一条对称轴；
⑤若和都是第一象限角，且，则．
其中真命题的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．
2．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，且，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
4．要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．若是周期为的奇函数，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
6．函数的一个单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知以及均为锐角，，那么的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
8．函数是奇函数，且当时，，则当时， 等于 ．
9．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的递增区间。
10．已知函数的图象与轴交于点，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为，，
（1）求函数的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数的图象依次经过哪些变换而得到的。第16课时 单元复习（2）
一、重点、难点剖析
会用与单位圆有关的的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，理解周期函数与最小正周期的意义，通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数及函数y=Asin（x+）的简图，理解A、、的物理意义。
二、典型例题
例1、关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)=f(x2)=0可得：x1－x2是整数倍；②f(x)的表达式可以改写为y=4cos(2x－)；
③f(x)的图象关于点(－,0)对称； ④f(x)的图象关于直线x=－对称
其中正确命题的序号是 （3） .
例2、如果实数、满足则等于 （ ）
A． B．
C． D．
例3、已知函数
（1）若，求的值；
（2）若为常数，且，试讨论方程的解的个数。
解：（1）；
（2）①； ②；
③； ④。
例4、奇函数在（－1，1）上是减函数，并且满足
如果∈[0,2]，求实数的取值范围.
解：
又 。
三、随堂检测
一、选择题
1、若，且，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
2、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则（ ）
A．f(sin)f(cos1) C．f(cos)f(sin2)
3、有下列结论：⑴正切函数是增函数 ⑵正弦函数在第一象限为增函数 ⑶余弦函数在[0，]上是减函数 ⑷余切函数是减函数.其中正确的命题有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、为了使函数在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则的最小值是
A． B． C． D． （ ）
5、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6、在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时， （ ）
A． B． C． D．
7、已知函数为偶函数，其图象与直线相邻的两个交点的横坐标分别为，且，则 （ ）
A． B． C． D．
8、函数的一段图象如图所示，
则它的一个周期T，初相依次为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9、函数的定义域为[0，1]，那么函数的定义域为 .
10、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________。
11、设ω>0,若f（x）=2sinωx在区间[0,]上单调递增,则ω的取值范围是 .
12、已知函数为奇函数，其中，则的值是 .
三、解答题
13、判断函数的奇偶性.
14、求函数=lg[]的单调区间.
15、若且，求．
16、设定义域为R的奇函数是减函数，若当时，，求的取值范围．
第16课时答案：
1、D 2、D 3、A 4、B 5、D 6、D 7、A 8、C
9、 10、 11、 12、0
13、奇函数 14、 15、16、三角函数全章测试
测试卷（120分钟，满分150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．若角α的终边落在直线y=-x上，则的值等于（ ）
A．0 B．2
C．-2 D．2tgα
2．设θ∈（0，2π），若sinθ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数的定义域是（ ）
A．（k∈Z）
B．（k∈Z）
C．（k∈Z）
D．（k∈Z）
4．函数的值域是（ ）
A．[0，8] B．[-3，5]
C． D．[-4，5]
5．已知α，β∈，cosα+sinβ＞0，则（ ）
A．α+β＜π
B．
C．
D．
6．已知tanα，tanβ是方程的两根，且α，β∈，则α+β等于（ ）
A． B．或
C．或 D．
7．有四个函数：①②y=|sinx|③④y=sin|x|，其中周期是π，且在上是增函数的函数个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
8．函数的最小正周期是（ ）
A．π B．2π
C． D．
9．是tanx=1成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
10．设，，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
11．把函数的图象向左平移m个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A． B．
C． D．π
12．已知函数，，那么函数的振幅A的值是（ ）
A．5 B．7
C． D．13
二、填空题（每题4分，共16分）
13．函数的最小正周期是_____________。
14．已知，α，β∈R，则的取值范围是_____________。
15．已知函数y=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，0≤＜2π）的图象如图4-5所示，则这个函数的解析式为y=_____________。
16．给出以下五个命题：①存在实数α，使sinαcosα=1；②存在实数α，使；③函数是偶函数；④直线是函数的图象的一条对称轴；⑤若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ，其中正确的命题序号是_____________。
三、解答题（共74分）
17．若sinαcosα＜0，sinαtanα＜0。化简：。（10分）
18．已知函数。
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值与最小值；
（3）求f（x）图象的对称轴；
（4）求f（x）的递增区间。（12分）
19．设，。求：
（1）；
（2）tanθ-cotθ。（12分）
20．已知，且α∈（0，π），β∈（0，π），求2α－β的值。（12分）
21．已知，，求cos（α+β）的值。（14分）
22．已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又函数， m∈，若集合M={m|g（θ）＜0＝，集合N={m|f[g（θ）] ＜0}，求M∩N。（14分）
参考答案
一、1．A 2．B 3．C 4．D 5．D
6．D 7．C 8．A 9．D 10．B
11．C12．C
二、13．
14．
15．
16．③④
三、17．因为sinαcosα<0 sinαtgα<0，
所以α为第二象限角，
即，
故，
即是第一或第三象限角，
原式。
当是第一象限角时，原式=，当是第三象限角时，
原式。
18．。
（1）；
（2）A=2，故，；
（3）由得
，即f（x）的对称轴是直线
。
（4）由得，
即f（x）的递增区间是（k∈Z）
19．因为，
故，，
故。
又，sinθ>0 cosθ<0，
所以sinθ-cosθ>0，
而，
所以，
20．因为，
所以
又，0<α<π故
再由，0<β<π知
∴，在上只有一个的正切值等于1。
21．由已知得，。
故，。
从而
，
所以。
22．依题意，f（-1）=-f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
因此，由f(x)<0得x<-1或0所以N={m | f[g（θ）]<0}={m | g（θ)<-1或0M∩N={m | g（θ）<-1}，
由g（θ）<－1得，
即，
所以，
设cosθ-2=t，
则当时，t∈[-2，-1]，
（可以证明在上是增函数，
在上是减函数，由此知时可以取到等号）。
从而。
所以即
。
[解题点拨]
1．α的终边在第二象限或第四象限。
2．，
，取交集可得。
3．
，，k∈Z。
4．
5．，
由α，β∈，
故，即。
6．注意该方程两根均为负实数，由此可得α、
7．，T=π在（0，）上是增函数，
y=|sinx|，T=π在上是增函数，
，
T=π在上是增函数，y=sin|x|不是周期函数。
8．
9．时，但tgx≠1，时，tgx=1
但
10．a=sin24°，，
。
11．。
依题意，，k∈Z，m>0，
故。
12．
。
。
13．
14．由得
或sinα=1，
，故
。
15．，，
，
故。三角函数复习讲义4
【教学内容】
1、已知三角函数值求角
2、三角函数全章复习
【教学目标】
1、能利用正、余弦函数的单调性判断适合条件的正、余弦函数值的角的个数。
2、会由已知正、余弦函数值求角。
3、会用反正、余弦表示角。
4、能利用正切函数的单调性判断适合已知正切值的角的个数。
5、会由已知正切函数的值求角。
6、会用反正切表示角。
7、对三角函数知识的综合运用。
8、会解较复杂的三角函数综合题。
【知识讲解】
1、已知任意一个角(角必须属于所涉及的三角函数的定义域)可以求出它的三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。
2、已知角的某个三角函数值求角的步骤如下：
（1）找出与函数值的绝对值对应的锐角α；
（2）根据所给值的符号，判断角α所在的象限，求得[0，2π)范围内的角α，即如果适合条件的角在第二象限，α=180°-α1；如果在第三象限，α=180°+α1；如果在第四象限，
α=360°-α1。
（3）将以上求得的角α各边上2kπ，即用终边相同的角的表示式写出所有适合条件的角。
3、同名三角函数值相等的两个角有如下关系：
sin
cos
tan
cot
4、根据正弦函数图象的性质，为了使符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间[-，]作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反正弦，记作arc sina，即x=arc sina，其中x∈[-，]，且a=sinx。
说明：1° arc sina中-1≤a≤1，-≤arc sina≤
2° 在-≤arc sina≤中，有唯一的一个角与实数a对应。
3° sin(arc sina )=a，a∈[-1，1]。
因此，对于三角方程sin(x)=a a∈[-1，1]在[-，]上有唯一解；对a为-1，-，-，-，0，，，能熟练求出[-，]中的角x。
5、根据余弦函数的图象的性质，为了使符合条件 cosx=a (-1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间[0，π]作为基本范围。在这个闭区间上，符合条件cosx=a，其中x∈[0，π]，且a=cosx。
说明：1° arc cosa中-1≤a≤1，0≤arc cosa≤
2° 在-≤arc cosa≤中有唯一的一个角与实数a对应。
3° cos(arc cosa)=a a∈[-1，1]
因此，对于三角方程cosx=a表示[-1，1]在(0，π]上有唯一解。对a为-1，-，-，-，0，，，能熟练求出[-，]中的角x。
6、根据正切函数的图象的性质，为了使符合条件，tanx=a的角，x有且只有一个，我们选择(-，)作为基本的范围。在这个区间内符合条件tanx=a的角x，叫做实数a的反正切，记作arc tan a
即 x= arc tana，其中x∈(-，)，且a=tanx。
说明：1°arc tana 中，a∈R ，-2°在-3°tan(arctana)=a a∈R
因此，对于三角方程tanx=a，a∈R，在(-,)上有唯一解，对a为-1，-，，0，，1和时，应熟练求出(-,)中的角x。
7、三角函数部分总复习
知识概要 1、主要概念
(1)正负、负角、零角及象限角的概念；（方向性，范围）
(2)角度制与弧度制的概念（注意这两种单位制的规定）
(3)三角函数的概念；
其中x,y分别为角α的终边上任意一点的横坐标与纵坐标；r为该点与原点间的距离，即
(4)单位圆、正弦线、余弦线、正切线、余切线的概念；
(5)同角三角函数的基本关系式，诱导公式；两角和与差的正余弦、正余切、两倍角正余弦正切公式；
(6)正弦曲线，余弦曲线，正切曲线与余切曲线的概念，图象和性质（定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性）
(7)函数y=Asin(ωx+)的图象以及三种变换（相位变换，周期变换，振幅变换）
[例题分析]
例1、求适合下列条件的角x
(1)，x是三角形内角；
(2)；
(3)，x是第三象限的角。
解：(1)∵，又x是三角形的内角，
∴
(2)∵是第二、四象限的角。
由可知符合条件的第二象限的角是，符合条件的第四角限的角是
∴所求的角x为或。
(3)∵
又∵x是第三象限的角；∴由
得符合条件的第三象限的x为
故所求的角是{x|x=}
例2、求适合下列条件的x的集合
(1)tanx=1 (2)2sinx+1=0 (3)
解：(1)∵因为满足tanx=1的锐角是，又∵tanx=1>0
∴x应在第一、三象限，在[0，2π)内有
∴所有满足条件的x集合为
(2)∵sinx=-<0，∴x在第三、四象限
又∵满足sinx=的锐角为
∴在[0，2π）内有
故所有满足条件的x的集合为{x|}
(3)∵cotx=-1<0，∴x在第二、四象限
又∵满足cotx=1的锐角为
∴在[0，2π）内有
故所有满足条件的x 的集合为：
例3、求适合下列关系式的x的集合。
解：原式可变形为
当>1，即时，没有符合条件的角存在。
当=1，即a=时，原式为sin2x=1，故符合条件的x的集合为
当<1，即时，符合条件的x的集合为：
例4、已知，且a=sinα，b=sinβ，若a>b，求证：
证明：∵a=sinα，b=sinβ
又
，∴
∵y=sinx在区间（0，）上是增函数。
又a>b ∴
∴α>π-β,∴α+β>π
又 ∴
例5、已知
求证：(1)
(2)
证明：∵
∴
∴ ①
②
①+②得：
①-②得：
例6、求证：(1)；
(2)；
证明：(1)右边=4sinα(sin60°cosα+cos60°sinα)(sin60°cosα-cos60°sinα)
=4sinα(sin260°cos2α-cos260°sin2α)
=4sinα(2α-sin2α)
=4sinα(cos2α-sin2α)
=sinα(3cos2α-sin2α)
=sinα(3-3sin2α-sin2α)
=3sinα-4sin3α
左边=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α
=3sinα-4sin3α
∴sin3α=4sinαsin(60°+α)sin(60°-α)
(2)右边=4cosαcos(60°+α)sin(60°-α)
=4cosα(cos60°cosα-sin60°sinα)(cos60°cosα+sin60°sinα)
=4cosα(cos260°cos2α-sin260°sin2α)
=4cosα()
=cosα(cos2α-3sin2α)
=cosα(cos2α-3+3cos2α)
=4cos3α-3cosα
左边=cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos2α-1)cosα-2cosαsin2α
=2cos3α-cosα-2cosα(1-cos2α)
=4cos3α-3cosα
∴cos3α=4cosαcos(60°+α)cos(60°-α)
例7、设α、β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0
求证：。
证：由3sin2α+2sin2β=1得3sin2α=1-2sin2β=cos2β
由3sin2α-2sin2β=0,得
∴sin2β=3sinαcosα
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0
∵
∵cos(α+2β)=0, ∴α+2β=
例8、已知求2α-β的值。
解：∵
由
例9、(1)设0(2)求证：sin2α+sin2β≥sinαsinβ+sinα+sinβ-1
证明：(1)
(2)
例10、已知函数f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b(a≠0)的定义域为，值域为[-5， 1]，求常数a,b的值。
解：f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b
∴可分a>0和a<0两类进行讨论
(1)当a>0时，-2a<0
即b≤f(x)≤3a+b，由题设知-5≤f(x)≤1
∴ 解得
(2)当a<0时，-2a>0
即3a+b≤f(x)≤b，由题设知-5≤f(x)≤1
∴ 解得
综合(1)(2)得a,b的值：
为 或
【一周一练】
一、选择题
1、设，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、△ABC中，已知，则∠C等于（ ）
A、30° B、45° C、60° D、135°
3、若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、函数y=sin(2x+)的图象的一条对称轴为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、函数y=4sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期为（ ）
A、6π B、2π C、 D、
6、在下列区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是（ ）
A、[，π] B、[0，] C、[-π，0] D、[，]
7、满足 sin(x-)的x的集合是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、已知右图是函数y=2sin()()的图象，那么（ ）
A、 B、
C、 D、
9、函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为（ ）
A、2 B、0 C、- D、6
10、y=sin2x是（ ）
A、最小正周期为2π的偶函数 B、最小正周期为2π的奇函数
C、最小正周期为π的偶函数 D、最小正周期为π的奇函数
11、已知，则等于（ ）
A、 B、- C、 D、-
12、函数y=sin4x+cos4x的周期是（ ）
A、 B、- C、2 D、4
13、函数的值域是（ ）
A、[-，] B、[，] C、[，] D、[，1]
14、下列函数是奇函数是（ ）
A、y=tanx+cosx B、y=x·tanx+sinx
C、y=x·cotx D、y=tanx-cotx
二、填 空题
15、tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值为 .
16、已知sin，则= 。
17、函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 。
18、函数内的递增区间是 .
19、函数y=sin2x-cos2x的最大值是 ，最小值是 。
20、函数y=-cos(3x+1)的单调递增区间为 。
三、解答题
21、设三角函数f(x)=，其中k≠0。
(1)写出f(x)的极大值M和极小值m与最小正周期T。
(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（含整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m。
22、已知函数y=Asin()+b,(A>0, ,b为常数)的一段图象如图，求它的函数表达式。
23、已知函数f(x)=-x2+x+a，这里x=sint，不等式对一切t值恒成立，求a的取值范围。
24、设关于x 的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a)
(1)试用a写出f(a)的表达式；
(2)试确定f(a)=的a值；并对此时的a，求y的最大值。
25、求函数的定义域。
26、已知，求的值。
【一周一练答案】
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A A D A C B A C B C D B C D
二、填空题
15、 16、 17、 18、
19、2，-1 20、
三、解答题
21、解：(1)∵，
∴M=1，m=-1，
(2)∵f(x)在它的每一个周期中都有一个值M，和一个值m，而任意两个整数的距离都是≥1，因此要使任意两个整数间的函数f(x)至少有一个值为M和一个值m，必须且只须使f(x)的周期≤1，
即，∴ ∴最小整数 k=32。
22、解：依题意，
代入。
故所求函数表达式为
23、解：原不等式即
为使任意t∈R不等式恒成立，须
解得：3≤a≤4。
24、解：(1)配方得
易知|cosx|≤1，以下对a 值进行讨论。
(Ⅰ)当，即a<-2时，cosx=-1，y取最得最小值。
即
(Ⅱ)当，即-2≤a≤2时，，y有最小值，
ymin=-
(Ⅲ)当，即a>2时，cosx=1，y取最小值，ymin=1-4a
综上，f(a)=
(2)由f(a)=解得，与a≥2矛盾
解得a=-1
此时，故当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，ymax=5。
25、
26、
y
x
3
O高一三角单元小结1
基本概念、定义、公式：
1、角是一条射线饶着它的端点旋转形成的几何图形，它由 、 、 组成。
2、角的概念推广后，包括 、 、 ，
与α终边相同的角表示为 。
角的集合：终边在x轴上 在y轴上
在第一象限 在第二象限
在第二四象限 在直线y＝x上
3、弧度制：把 叫1弧度的角。
公式：|α|＝
换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度
扇形： 弧长L＝ ，面积S＝ ＝ =
4、 任意角的三角函数：
定义：在角α终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r＝ （r0），六个三角函数的定义依次是 、 、 、
、 、 。
②三角函数的定义域：、的定义域为 ；、的定义域为 ；、的定义域为 。
③三角函数值的符号：当在 象限时，；当在 象限时，；当在 象限时，。
④三角函数线：
如图，角的终边与单位圆交于点P，过点P作 轴的垂线，
垂足为M，则
。过点A(1,0)作 ，
交 于点T，则 。
⑤同角三角函数关系式：
平方关系：
商数关系：
倒数关系：
⑥诱导公式：
―α(或2π―α) π+α π－α 2kπ+α
sin
cos
tan
习题训练
（一）选择题
1、若角α满足sinαcosα<0,cosα-sinα<0,则α在 ( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
２、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 ( )　
　A． B．sin0.5 C．2sin0.5 D．tan0.5
３、已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 (　　)
　A．eq \f(,2) B．eq \f(,3) C． D．2
４、(04浙江)在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的 (　　)
　A．仅充分条件 B．仅必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
５、已知sinα＞sinβ，则下列命题成立的是 (　　)
　A．若α.β是第一象限角，则cosα＞cosβ．
　B．若α.β是第二象限角，则tanα＞tanβ．
　C．若α.β是第三象限角，则cosα＞cosβ．
D．若α.β是第四象限角，则tanα＞tanβ．
６、以下各式能成立的是 (　　)
　A．sinα＝cosα＝ ； B．cosα＝且tanα＝2；
C．sinα＝且tanα＝eq \f(,3)； D．tanα＝2且cotα＝－
７、的结果是 (　　)
　A．1 B．0 C．－1 D．
８、设sin123°＝a，则tan123°＝ (　　)
　A．eq \f(,a) B．eq \f(a,) C．eq \f(, 1－a2) D．eq \f(a, a2－1)
９、α为第二象限角，P(x, )为其终边上一点，且cosα＝eq \f(,4)x，则x值为 (　　)
　A． B．± C．－ D．－
10、若α满足＝2，则sinα·cosα的值等于 (　　)
　A． B．－ C．± D．以上都不对
（二）填空题：
11、已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝ ．
12、函数y＝＋＋＋的值域为 ．
13、已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，则cos(105°－α)＋
sin(α－105°)＝ ．
14、若θ满足cosθ>,则角θ的取值集合是 ．
（三）解答题：
15、已知扇形的周长为L，问当扇形的圆心角α和半径R各取何值时，扇形面积最大？
16、已知，，若是第二象限角，求实数的值.
17、已知α为第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin(π－α)cos(2π―α).tan(―α＋), cotα.sin(π＋α))．
(1)化简f(α)； (2)若cos(α－)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－1860°，求f(α)的值．
18、已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：
(1) ＋的值； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值．
参考答案：
一、基本概念、定义、公式：略
二、习题训练
（一）选择题：BADB DCAD CB
（二）填空题：
11． 12．{－2,0,4} 13、 eq \f(2－1,3) 14、
提示：13、α为第三象限角，cos(75°＋α)＝ ，∴sin(75°＋α)＝－eq \f(2,3)，
cos(105°－α)＝―cos[180°―(105°―α)]＝－cos(75°＋α)＝－，
sin(α－105°)＝－sin[180°＋(α－105°)]＝－sin(75°＋α)＝eq \f(2,3)，∴原式＝eq \f(2－1,3)．
（三）解答题：
15、解：∵L＝2R＋αR，S＝αR2．∴α＝．∴L＝2R＋2R2－LR＋2S＝0．
△＝L2－16S≥0S≤．故当α＝2．R＝时，Smax＝．
16、解：依题意是第二象限角，
∴，，又，从而得：
由（3）解得或，把代入不符合不等式（1）故舍去，从而
17．(1)f(α)＝－cosα． (2) f(α)＝eq \f(2,5)． (3) f(α)＝－．
18、解：依题得：sinθ＋cosθ＝eq \f(＋1,2)，sinθcosθ＝．
∴(1)原式＝＋＝sinθ＋cosθ＝eq \f(＋1,2)；
(2)m＝2 sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2－1＝eq \f(,2)．
(3)∵sinθ＋cosθ＝eq \f(＋1,2)．∴| sinθ－cosθ|＝eq \f(－1,2)．
∴方程两根分别为eq \f(,2)，．∴θ＝或．三角函数复习讲义（1）
两角和与差的三角函数
一、复习要点：
1．主要内容：同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和角（差角）公式，倍角公式。
2．主要题型：化简、求值、证明。
3．方法要点：化简、求值、证明常涉及三个方面的变形：角、函数名称、运算方式，关键是角的处理。常用的变形措施有：负角化正，大角化小，切割化弦，化异为同，降高为低，引进辅助角，“”的变换，和差配凑等。对于给式求值的问题，要针对目标运用条件；对于证明问题，消除条件和结论的差异，即为成功。要求不仅熟悉公式、活用公式，还要善于观察、辨析差异，根据题意选取适当的方法。
二、基础训练：
1．已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．设是三角形中的最小角，且，则的取值范围是 ．
3．化简，其结果为 （ ）
A． B． C． D．
4．在中，，且，则的大小为 （ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知，且，则角是第 象限角。
6．若和都是锐角，且，，则的值是 ，的值是 ．
7．已知，，则的值是 ．
三、例题分析：
例1．求值：。
例2．设是锐角，且，，求证：成等差数列。
例3．是否存在锐角和，使得，同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。
四、课后作业：
1．设，，，则有 （ ）
A． B． C． D．
2．若，则的最大值是 最小值是 ．
3．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
4．若和都是锐角，且，则与的大小关系是 ．
5．若，则的值是 ．
6．若和都是锐角，且，则的值是 ．
7．若，则的值是 （ ）
． ． ． ．
8．计算：．
9．已知，且满足，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）将表示成的函数关系式。
10．已知：其中不同时为零，
求证：．