【专题讲义】人教A版必修1 专题13 导数的计算（解析版）

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专题13 导数的计算
【考点总结】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．21教育网
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′( ( http: / / www.21cnjy.com )x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．21·世纪*教育网
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．www.21-cn-jy.com
【常用结论】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′( ( http: / / www.21cnjy.com )x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．2·1·c·n·j·y
【易错总结】
(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；
(2)不会用方程法解导数求值．
例1．已知函数f(x)＝sin，则f′(x)＝________．
解析：f′(x)＝[sin]′＝cos·′＝2cos.
答案：2cos
例2．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________．www-2-1-cnjy-com
解析：因为f(x)＝f′sin x＋cos x，
所以f′(x)＝f′cos x－sin x，
所以f′＝f′cos－sin，
即f′＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x，
f′(x)＝－cos x－sin x.
故f′＝－cos－sin＝－.
【考点解析】
【考点】一、导数的计算
角度一　根据求导法则求函数的导数
例1、求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝sin；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝；
(5)y＝ln.
【解】　(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)因为y＝sin＝－sin x，
所以y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln 3＋3xex－2xln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(4)y′＝＝
＝.
(5)y′＝′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝
[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝·(2x－1)′－·(2x＋1)′＝－＝.
角度二　抽象函数的导数计算
例2、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′( ( http: / / www.21cnjy.com )2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.2-1-c-n-j-y
【答案】　－
导数的计算技巧
(1)求导之前，应利用代数、三角恒 ( http: / / www.21cnjy.com )等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．21*cnjy*com
(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．　
【变式】1．已知f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝(　　)
A．e2　　　　　　　 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B.因为f(x)＝x(2 019＋ln x)，
所以f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，
又f′(x0)＝2 020，
所以2 020＋ln x0＝2 020，所以x0＝1.
【变式】2．(2020·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　)
A. B．
C. D．－2
解析：选C.因为f′(x)＝f′( ( http: / / www.21cnjy.com )1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.21世纪教育网版权所有
【考点】二、导数的几何意义
角度一　求切线方程
例1、 (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
【解析】　(1)因为y′＝3(2x＋1)ex ( http: / / www.21cnjy.com )＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)因为点(0，－1)不在曲线f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.【版权所有：21教育】
所以由解得x0＝1，y0＝0.
所以直线l的方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
【答案】　(1)y＝3x　(2)x－y－1＝0
角度二　求切点坐标
例2、(2019·高考江苏卷)在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．21教育名师原创作品
【解析】　设A(x0，ln ( http: / / www.21cnjy.com )x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．
【答案】　(e，1)
角度三　求参数
例3、(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(2)(2020·郑州市 ( http: / / www.21cnjy.com )第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x＋y＋1＝0相切，则实数a的值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】　(1)因为y′＝aex＋ln ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得21*cnjy*com
(2)设直线x＋y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝－a，所以由题意，得，解得.21cnjy.com
【答案】　(1)D　(2)2
角度四　导数与函数的图象
例4、 (1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．21·cn·jy·com
【解析】　(1)不妨设导函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1<00，排除B，故选D.
(2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－.
因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
所以g′(3)＝1＋3×＝0.
【答案】　(1)D　(2)0
导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(3)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．　 【出处：21教育名师】
【变式】1．曲线y＝ex－1＋x的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为________．
解析：设切点坐标为(x0，ex0－1＋x0) ( http: / / www.21cnjy.com )，因为y′＝ex－1＋1，所以切线的斜率k＝e x0－1＋1，故切线方程为y－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(x－x0)．因为切线过原点，所以0－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(0－x0)，解得x0＝1，将x0＝1代入y－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(x－x0)，可得切线方程为y＝2x，故答案为y＝2x.
答案：y＝2x
【变式】2．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________．
解析：因为y′＝，所以y′|x＝＝－1.
由条件知＝－1，所以a＝－1.
答案：－1
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