【专题讲义】人教A版必修1 专题08 指数与指数函数（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 指数与指数函数
【考点总结】
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．www.21-cn-jy.com
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)；
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0且a≠1) a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
在R上是增函数 在R上是减函数
【常用结论】
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax， ( http: / / www.21cnjy.com )(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．21世纪教育网版权所有
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0【易错总结】
(1)忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错；
(2)不能正确理解指数函数的概念致错；
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．
例1．计算＋＝________．
解析：＋＝(1＋)＋(－1)＝2.
答案：2
例2．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
解析：由题意知即a＝2.
答案：2
例3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．
解析：当a>1时，a＝2；当0即a＝.
答案：2或
例4．函数y＝2的值域为________．
解析：因为≠0，
所以2>0且2≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
【考点解析】
【考点】一、指数幂的化简与求值
例1．化简·(a>0，b>0)＝________．
解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
答案：
例2．计算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________．
解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
答案：－
例3．化简：÷×＝________(a>0)．
解析：原式＝÷×＝a(a－2b)××＝a2.
答案：a2
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　
【考点】二、指数函数的图象及应用
例1、(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)
(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．
(2)函数y＝|3x－1 ( http: / / www.21cnjy.com )|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．21cnjy.com
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]
【迁移探究1】　(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
解析：
函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
【迁移探究2】　(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．21教育网
解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从 ( http: / / www.21cnjy.com )最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．21·cn·jy·com
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．　
【变式】1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0　　　 B．a>1，b>0
C．00 D．0解析：选D.由f(x)＝ax－b ( http: / / www.21cnjy.com )的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0【变式】2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即
0＜a＜；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜.
答案：
【考点】三、指数函数的性质及应用
角度一　指数函数单调性的应用
例1、(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bC．b(2)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞－e2的x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
【解析】　(1)因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b(2)由f(x)＝ex－ae－x ( http: / / www.21cnjy.com )为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故选B.
【答案】　(1)A　(2)B
角度二　指数型复合函数的单调性
例2、(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，
因为y＝在R上为减函数，
所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝| ( http: / / www.21cnjy.com )2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．21·世纪*教育网
【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]
角度三　指数函数性质的综合问题
例3、已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)有最大值3，求a的值；
(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解】　(1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由指数函数的性质知，
要使y＝的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.
(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．　 www-2-1-cnjy-com
【变式】1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是　(　　)2-1-c-n-j-y
A．a＜b＜c　　　　　　 B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：选C.因为指数函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，
又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，
所以a＜c，
故选C.
【变式】2．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
解析：因为f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以f(x)＝
当f(x－2)>0时，有或
解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
答案：{x|x>4或x<0}
【变式】3．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
解：(1)f(x)的定义域是R，令y＝，得ax＝－，因为≠1在定义域内恒成立，所以y≠1.
因为ax>0，所以－>0，
解得－1所以f(x)的值域为(－1，1)．
(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝＝1－.
设x1，x2是R上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1所以当a>1时，a x2>ax1>0，
从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)当0a x2>0，
从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)为R上的减函数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)