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习题三 基本初等函数
【学习目标】
1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).
2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．21世纪教育网版权所有
【基础训练】
1．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )
A．0.76<60.7
C．log0.76<60.7<0.76 D．log0.76<0.76<60.7
2．已知0A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．lg 32－lg ＋lg ＝________.
4．函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋7)的值域是________．
【提升训练】
类型一 指数与对数的运算
【例1】 计算：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)0.064－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.
【训练1】 计算：
(1)－0＋0.25×－4；
(2)log3＋2log510＋log50.25＋71－log72.
类型二 指数、对数型函数的定义域、值域
【例2】 (1)求函数y＝x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域；
(2)已知－3≤x≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
【训练2】 (1)函数f(x)＝＋的定义域是________．
(2)函数f(x)＝的值域为________．
类型三 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
【例3】 (1)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是( )
(2)当0A． B． C．(1，) D．(，2)
【训练3】 (1)函数y＝的图象大致是( )
(2)已知a>0且a≠1，函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是________．
类型四 比较大小问题
【例4】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；(2)log53，log63，log73.21教育网
【训练4】 (1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a
(2)设a＝2，b＝3，c＝0.3，则( )
A．a类型五 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
【例5】 已知函数f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
【训练5】 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
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习题三 基本初等函数
【学习目标】
1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).
2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．【来源：21·世纪·教育·网】
【基础训练】
1．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )
A．0.76<60.7C．log0.76<60.7<0.76 D．log0.76<0.76<60.7
解析 由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log0.76<0，∴log0.76<0.76<60.7，故选D．
答案 D
2．已知0A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 因为0答案 C
3．lg 32－lg ＋lg ＝________.
解析 原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
答案
4．函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋7)的值域是________．
解析 ∵－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8≤8，
∴log2(－x2＋2x＋7)≤log28＝3，故f(x)的值域是(－∞，3]．
答案 (－∞，3]
【提升训练】
类型一 指数与对数的运算
【例1】 计算：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)0.064－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.
解 (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝0.43×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))－1＋2－4＋24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))＋0.1＝－1＋＋＋＝.
规律方法 指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指 ( http: / / www.21cnjy.com )数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；21教育网
(2)对数的运算首先注意公式应 ( http: / / www.21cnjy.com )用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．2·1·c·n·j·y
【训练1】 计算：
(1)－0＋0.25×－4；
(2)log3＋2log510＋log50.25＋71－log72.
解 (1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.
(2)原式＝log3eq \f(3,3)＋log5(100×0.25)＋7÷7log72＝log33－＋log552＋＝－＋2＋＝.
类型二 指数、对数型函数的定义域、值域
【例2】 (1)求函数y＝x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域；
(2)已知－3≤x≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
解 (1)令t＝x2－2x＋2，则y＝t.又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,0≤x≤3，∴当x＝1时，
tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，
∴5≤y≤1，故所求函数的值域为.
(2)∵－3≤x≤－，∴≤log2x≤3，
∴f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝2－.21cnjy.com
当log2x＝3时，f(x)max＝2，当log2x＝时，
f(x)min＝－.
规律方法 函数值域(最值)的求法
(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围．
(2)配方法：适合二次函数．
(3)反解法：有界量用y来表示．如y＝中，由x2＝≥0可求y的范围，可得值域．
(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．
(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．
【训练2】 (1)函数f(x)＝＋的定义域是________．
(2)函数f(x)＝的值域为________．
解析 (1)由题意可得解得0≤x<1，
则f(x)的定义域是[0,1)．
(2)当x≥1时，x≤1＝0，当x<1时，0<2x<21＝2，
所以f(x)的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．
答案 (1)[0,1) (2)(－∞，2)
类型三 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
【例3】 (1)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是( )
(2)当0A． B． C．(1，) D．(，2)
解析 (1)由loga2<0(a>0， ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠1)，可得0(2)∵0∴即对0∴解得答案 (1)A (2)B
规律方法 函数图象及应用
(1)根据函数解析式特征 ( http: / / www.21cnjy.com )确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．21*cnjy*com
(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．【来源：21cnj*y.co*m】
【训练3】 (1)函数y＝的图象大致是( )
(2)已知a>0且a≠1，函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是________．
解析 (1)当x<0时，y ( http: / / www.21cnjy.com )＝x2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C和D；当x≥0时，y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向下平移一个单位得到，故排除A，选B．21世纪教育网版权所有
(2)当a>1时，在同一坐标系中作出函数y＝|ax－2|和y＝3a的图象，因为a>1，所以3a>3，故两函数图象只有一个交点．【出处：21教育名师】
当0综上所述，a的取值范围是.
答案 (1)B (2)
类型四 比较大小问题
【例4】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；(2)log53，log63，log73.www-2-1-cnjy-com
解 (1)∵1.10.9>1. ( http: / / www.21cnjy.com )10＝1，log1.10.9∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.
(2)∵0∴log53>log63>log73.
规律方法 数(式)的大小比较常用的方法及技巧
(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．
(2)常用的技巧：
①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．21教育名师原创作品
②比较多个数的大小时，先利用“0 ( http: / / www.21cnjy.com )”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．21*cnjy*com
【训练4】 (1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a
(2)设a＝2，b＝3，c＝0.3，则( )
A．a解析 (1)∵a＝log20.320＝1,0c>a.故选C．
(2)∵a＝2<0，b＝3<0，3<2<2，c＝0.3>0.∴b答案 (1)C (2)D
类型五 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
【例5】 已知函数f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
解 因为f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，
所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立．
因为4x>0，
所以a>－在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．
由y＝－x与y＝－x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，
所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.
因为a>－在(－∞，1]上恒成立，
所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.
故所求a的取值范围为.
规律方法 函数性质的综合应用
指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常 ( http: / / www.21cnjy.com )高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．21·cn·jy·com
【训练5】 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
解 (1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝
loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4－＝.
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