中小学教育资源及组卷应用平台
习题四 函数的应用
【学习目标】
1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).
2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).
3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点)．
【基础训练】
1．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0 B．－2,0 C． D．0
3．函数f(x)＝ax2＋x－1至少存在一个零点，则a的取值范围是________．
4．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台 ( http: / / www.21cnjy.com ))之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台．21世纪教育网版权所有
【提升训练】
类型一 函数的零点
方向1 判断函数零点所在的区间
【例1－1】 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
方向2 判断函数零点的个数
【例1－2】 方程|x|－＝0(a>0)的零点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．至少1个
方向3 根据函数零点求参数的取值范围
【例1－3】 已知函数f(x)＝|x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．21教育网
【训练1】 (1)函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞)
(2)若方程4x＋2x＋1＋3－a＝0有零点，则实数a的取值范围是________．
类型二 函数模型及其应用
【例2】 某家庭进行理财投资，根据长 ( http: / / www.21cnjy.com )期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．21cnjy.com
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？21·cn·jy·com
【训练2】 今年冬季，我国 ( http: / / www.21cnjy.com )大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到4 ( http: / / www.21cnjy.com )0%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)www.21-cn-jy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
习题四 函数的应用
【学习目标】
1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).
2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).
3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点)．
【基础训练】
1．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 令f(x)＝ex＋3x＝0，即ex ( http: / / www.21cnjy.com )＝－3x，在同一坐标系中作出函数y＝ex和y＝－3x的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即f(x)有1个零点．21世纪教育网版权所有
答案 B
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0 B．－2,0 C． D．0
解析 当x≤1时，由f(x)＝0，得2x ( http: / / www.21cnjy.com )－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，选D．www.21-cn-jy.com
答案 D
3．函数f(x)＝ax2＋x－1至少存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，f(x)＝x－1有一个零点x＝1；当a≠0时，则零点Δ＝1＋4a≥0，解得a≥－且a≠0，综上a的取值范围是a≥－.21·世纪*教育网
答案
4．生产某机器的总成本y(万元)与产量x ( http: / / www.21cnjy.com )(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台．2-1-c-n-j-y
解析 设生产x台，获得利润f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大．【来源：21cnj*y.co*m】
答案 50
【提升训练】
类型一 函数的零点
方向1 判断函数零点所在的区间
【例1－1】 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
解析 由f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0及零点存在性定理，知f(x)的零点在区间(－1,0)上．
答案 B
方向2 判断函数零点的个数
【例1－2】 方程|x|－＝0(a>0)的零点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．至少1个
解析 令f(x)＝|x|，g(x)＝(a>0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．
答案 A
方向3 根据函数零点求参数的取值范围
【例1－3】 已知函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．21cnjy.com
解析 设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.
在同一平面直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象，如图．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，2·1·c·n·j·y
所以有两组不同的解．
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，该方程有两个不等实根．
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，
即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，
∴0
9.
答案 (0,1)∪(9，＋∞)
规律方法 函数零点问题的解法
(1)确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．
(2)判断零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理，结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．www-2-1-cnjy-com
(3)根据函数的零点求参数的取值范围：
①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；
②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【训练1】 (1)函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞)
(2)若方程4x＋2x＋1＋3－a＝0有零点，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)易知函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝x＋lg x－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3<0，f(2)＝2＋lg 2－3<0，f(3)＝3＋lg 3－3>0.故函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为(2,3)，选C．21·cn·jy·com
(2)由4x＋2x＋1＋3 ( http: / / www.21cnjy.com )－a＝0得a＝4x＋2x＋1＋3，又4x＋2x＋1＋3＝(2x)2＋2·2x＋3＝(2x＋1)2＋2，因为2x>0，所以(2x＋1)2＋2>3.故要使原方程有零点，则a>3.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 (1)C (2)(3，＋∞)
类型二 函数模型及其应用
【例2】 某家庭进行理财投资，根据长期收 ( http: / / www.21cnjy.com )益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．21*cnjy*com
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？【出处：21教育名师】
解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型类产品为(20－x)万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，
即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
规律方法 建立函数模型的方法
(1)关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型．
(2)图表分析法：通过列表的方法探求建立函数模型．
(3)图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型．
【训练2】 今年冬季，我国大部分地 ( http: / / www.21cnjy.com )区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时 ( http: / / www.21cnjy.com )间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)21教育网
解 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k.
解得k＝－ln 0.9(或0.022)．
(2)由(1)得，P＝P0e(ln 0.9)t.
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e(ln 0.9)t.
解得t＝≈＝≈41.82.
故污染物减少到40%至少需要42小时．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)