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专题13 导数的计算
1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
(A)e (B)－e (C) (D)－
C 解析：y＝ln x的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)，∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝＝.21世纪教育网版权所有
2．设函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0等于( )
(A)±1 (B) (C)± (D)2
C 解析：由已知得f′(x)＝ax2＋b.又f(3)＝3f′(x0)，则有9a＋3b＝3ax＋3b，所以x＝3，即x0＝±.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于( )
(A)2 (B)－2 (C) (D)－
B 解析：因为y′＝，所以曲线在(3,2) ( http: / / www.21cnjy.com )处的切线斜率为k＝－，又因为直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·＝－1，解得a＝－2.故选B.21教育网
4．已知函数f(x)＝xn＋1(x∈N*)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为( )21cnjy.com
(A)－1 (B)1－log20162015
(C)－log20162015 (D)1
答案：A
5．(2019泰安期末)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数的取值范围为( )
(A)(1,5) (B)[1,5)
(C)(1,5] (D)(－∞，1)∪(5，＋∞)
B 解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
∵f(x)在区间(－1,1)内恰有一个极值点，
∴f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内有唯一解．
∴f′(－1)f′(1)＝(1－a)(5－a)＜0，
解得1＜a＜5，
又当a＝1时是，f′(x)＝3x2＋2x－1＝(x＋1)(3x－1)在区间(－1,1)内恰有一个解，
当a＝5时，函数f′(x)＝3x2＋2x－5＝(x－1)(3x＋5)在区间(－1,1)内没有解．
综上实数的取值范围为[1,5)．故选B.
6．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
A 解析：因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，所以f′(x)＝x－sin x为奇函数，且f′＜0.
故选A.
7．设a为实数，函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )www.21-cn-jy.com
(A)9x－y－16＝0 (B)9x＋y－16＝0
(C)6x－y－12＝0 (D)6x＋y－12＝0
A 解析：由题意可得f′(x)＝3x2＋2a ( http: / / www.21cnjy.com )x＋a－3是偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即为9x－y－16＝0，故选A.2·1·c·n·j·y
8．(2018唐山模拟)曲线y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.
解析：∵y＝aln x，∴y′＝，∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)，21·世纪*教育网
∴×a×1＝4，∴a＝8.
答案：8
9．(2018河南六市一模)已知函数f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.www-2-1-cnjy-com
解析：∵f′(x)＝1－，∴2＝f′(1)＝1－a，∴a＝－1，
∵f(1)＝7＝1＋a＋b，∴b＝7，
∴a－b＝－8.
答案：－8
10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，
所以斜率最小的切线过2，，斜率为－1，
所以切线方程为x＋y－＝0.
(2)由(1)得k≥－1，所以tan α≥－1，
所以α∈0，∪，π.
11．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c图象上点A(2,1)处的切线方程为2x－y＋a＝0，则a＋b＋c＝( )
(A)－ (B)－ (C)0 (D)
C 解析：因为A(2,1)在2x－y＋a＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )上，所以4－1＋a＝0，a＝－3，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(2)＝2，所以12＋4a＋b＝2，得b＝2.将A(2,1)代入f(x)＝x3－3x2＋2x＋c中，得8－12＋4＋c＝1，得c＝1，所以a＋b＋c＝0，故选C.21·cn·jy·com
12．已知函数f(x)的导函数在(a，b)上的图象关于直线x＝对称，则函数y＝f(x)在[a，b]上的图象可能是( )2-1-c-n-j-y
D 解析：因为函数f(x)的导函数的图像关于直线x＝对称，所以函数f(x)的图像关于点(，
f())中心对称，只有D选项符合，故选D.
13．(2018江西省宜春中学、新余一 ( http: / / www.21cnjy.com )中联考)设函数y＝f(x)在其图象上任意一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x－6x0)(x－x0)，且f(3)＝0，则不等式≥0的解集为________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：因为函数y＝f(x)在其 ( http: / / www.21cnjy.com )图像上任意一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x－6x0)(x－x0)，所以f′(x0)＝3x－6x0，所以f′(x)＝3x2－6x，设f(x)＝x3－3x2＋c，又f(3)＝0，所以33－3×32＋c＝0，解得c＝0，所以f(x)＝x3－3x2，所以≥0可化为≥0，解得0＜x≤1或x＜0或x＞3.21*cnjy*com
答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)
14.定义在R上的函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，则的取值范围是________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：观察图象，可知f(x)在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，
由f(2a＋b)<1＝f(4)，可得画出以(a，b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示)，
而可看成(a，b)与点P(－1，－1)连线的斜率，可求得，5为所求范围．
答案：，5
15．(2019长春调研)已知函数f(x)＝aex＋b在(0，f(0))处切线为x－y＋1＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，x1＜x2，k表示直线AB的斜率，求证：f′(x1)＜k＜f′(x2)．
解：(1)f(x)＝aex＋b，f′(x)＝aex，
∴由f′(0)＝1得a＝1.
把x＝0代入x－y＋1＝0得y＝1，即f(0)＝1，
∴b＝0.
∴f(x)＝ex.
(2)法一：由(1)知f′(x)＝ex，
要证明f′(x1)＜k＜f′(x2)，
即证ex1＜＜ex2，
各项同除以ex1，即1＜＜ex2－x1.
令t＝x2－x1，则t＞0，
这样只需证明1＜＜et(t＞0)，即t＜et－1＜tet.
设g(t)＝et－t－1，g′(t)＝et－1，
∵t＞0，∴g′(t)＞0，即g(t)在(0，＋∞)上是增函数，
∴g(t)＞g(0)＝0，即et－1＞t.
设h(t)＝(t－1)et＋1，
h′(t)＝et＋(t－1)et＝tet＞0(t＞0)，
∴h(t)在(0，＋∞)上也是增函数，
h(t)＞h(0)＝0，即tet＞et－1，
从而证明了t＜et－1＜tet成立，
∴f′(x1)＜k＜f′(x2)．
法二：f′(x1)＜k＜f′(x2)等价于ex1＜＜ex2，
即(x2－x1)ex1＜ex2－ex1＜(x2－x1)ex2.
先证(x2－x1)ex1＜ex2－ex1，
问题等价于(x2－x1)＜ex2－x1－1，
即ex2－x1－(x2－x1)－1＞0.
设g(x)＝ex－x－1(x＞0)，则g′(x)＝ex－1＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)＞g(0)＝0.
∵x1＜x2，
∴x2－x1＞0，
∴g(x2－x1)＝ex2－x1－(x2－x1)－1＞0，得证．
再证ex2－ex1＜(x2－x1)ex2，问题等价于x2－x1＞1－ex1－x2，即ex1－x2－(x1－x2)－1＞0.
设h(x)＝ex－x－1(x＜0)，则h′(x)＝ex－1＜0，
∴h(x)在(－∞，0)上是减函数，h(x)＞h(0)＝0.
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，
∴h(x1－x2)＝ex1－x2－(x1－x2)－1＞0，得证．
综上，f′(x1)＜k＜f′(x2)．
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1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
(A)e (B)－e (C) (D)－
2．设函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0等于( )
(A)±1 (B) (C)± (D)2
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于( )
(A)2 (B)－2 (C) (D)－
4．已知函数f(x)＝xn＋1(x∈N*) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为( )21教育网
(A)－1 (B)1－log20162015
(C)－log20162015 (D)1
5．(2019泰安期末)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数的取值范围为( )
(A)(1,5) (B)[1,5)
(C)(1,5] (D)(－∞，1)∪(5，＋∞)
6．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
7．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax ( http: / / www.21cnjy.com )2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )21cnjy.com
(A)9x－y－16＝0 (B)9x＋y－16＝0
(C)6x－y－12＝0 (D)6x＋y－12＝0
8．(2018唐山模拟)曲线y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.
9．(2018河南六市一模)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.21·cn·jy·com
10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
11．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c图象上点A(2,1)处的切线方程为2x－y＋a＝0，则a＋b＋c＝( )
(A)－ (B)－ (C)0 (D)
12．已知函数f(x)的导函数在(a，b)上的图象关于直线x＝对称，则函数y＝f(x)在[a，b]上的图象可能是( )21世纪教育网版权所有
13．(2018江西省宜春中学、新 ( http: / / www.21cnjy.com )余一中联考)设函数y＝f(x)在其图象上任意一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x－6x0)(x－x0)，且f(3)＝0，则不等式≥0的解集为________．www.21-cn-jy.com
14.定义在R上的函数f(x)满足f( ( http: / / www.21cnjy.com )4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，则的取值范围是________．2·1·c·n·j·y
15．(2019长春调研)已知函数f(x)＝aex＋b在(0，f(0))处切线为x－y＋1＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，x1＜x2，k表示直线AB的斜率，求证：f′(x1)＜k＜f′(x2)．
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