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专题07 二次函数与幂函数
1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D.函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.21教育网
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是( )
解析：选C.若a>0，则一次函数y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.
3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0，故选A.21cnjy.com
4.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.因为y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0
又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，
所以m2－4m为偶数，因此m＝2.
5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )www.21-cn-jy.com
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B.由于f(x)为幂函数， ( http: / / www.21cnjy.com )所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.21·cn·jy·com
6．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝.
所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.
答案：y＝x2－2x＋3
7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝－x2＋2ax在[1 ( http: / / www.21cnjy.com )，2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1，2]上是减函数，所以a>0，所以0答案：(0，1]
8．已知二次函数f(x)满足f(2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.www-2-1-cnjy-com
答案：[0，4]
9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－∈[－2，3]，
所以f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
所以函数f(x)的值域为.
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
所以－2a－1＝1，
即a＝－1满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
[综合题组练]
1．(2020·湖南4月联考) ( http: / / www.21cnjy.com )定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是( )21世纪教育网版权所有
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选B.易知定义在R上的函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝－x3＋m单调递减，所以函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以抛物线的对称轴x＝≥1，所以k≥2.故选B.21·世纪*教育网
2．(2020·湖北荆州质量检查(一))若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
解析：选B.因为(3x＋a)3≤8x3，y ( http: / / www.21cnjy.com )＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3成立，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]，故选B.2-1-c-n-j-y
3.如图是二次函数y＝ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B.因为二次函数的图象与x轴交 ( http: / / www.21cnjy.com )于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a4．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0 ( http: / / www.21cnjy.com )时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为____________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝f ( http: / / www.21cnjy.com )(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.【出处：21教育名师】
答案：1
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，
且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，
所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0]．
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专题07 二次函数与幂函数
1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是( )
3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
4.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )21cnjy.com
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
6．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．
7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．
8．已知二次函数f(x)满足f(2＋x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．21世纪教育网版权所有
9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．
[综合题组练]
1．(2020·湖南4月联考)定义在R上的 ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是( )21教育网
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．(2020·湖北荆州质量检查(一))若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象 ( http: / / www.21cnjy.com )的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
4．已知y＝f(x)是偶函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为____________．www.21-cn-jy.com
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
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