【同步讲义】人教A版必修1 第3讲 集合的基本运算（解析版）

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第三讲 集合的基本运算
一、并集、交集
【最新课标】
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点).
2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点)．
4.理解全集、补集的概念(难点)，准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点).
5.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)．
【考点总结】
知识点1　并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
知识点2　交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
【例题解析】
题型一　并集的概念及简单应用
例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于(　　)
A．{3,4,5,6,7,8}　　　B．{5,8} C．{3,5,7,8}　　 D．{4,5,6,8}【来源：21·世纪·教育·网】
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于(　　)
A．{x|－1≤x＜3}　　　 B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}　　 D．{x|x≥－1}
解析　(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．
答案　(1)A　(2)C
规律方法　求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．21教育网
【训练1】　已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　　　 B．{0,3}　　　 C．{1,3,9}　　 D．{0,1,3,9}
解析　易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．
答案　D
题型二　交集的概念及简单应用
例2、(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2}　　　 B．{3} C．{－3,2}　　 D．{－2,3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A．{x|0≤x≤2}　　　 B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}　　 D．{x|1≤x≤4}
解析　(1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A．
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
答案　(1)A　(2)A
规律方法　求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集．
(2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示．21cnjy.com
【训练2】　(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5　　　 B．4　　　 C．3　　 D．2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(　　)
A．x＝3，y＝－1　　　 B．(3，－1)
C．{3，－1}　　 D．{(3，－1)}
解析　(1)8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，故A∩B＝{8,14}，故选D．
(2)由得故M∩N＝{(3，－1)}．
答案　(1)D　(2)D
题型三　并集、交集的运算性质及应用
【探究1】　设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有怎样的关系？www.21-cn-jy.com
解　A∩B＝A A∪B＝B A B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A B三者为等价关系．
【探究2】　若集合＝{x|x2＋2x－a＝0}＝ ，求a的取值范围．
解　由题意知方程x2＋2x－a＝0无实根，故Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
【探究3】　设集合A＝{1,2}，若B A，求B.
解　B＝ 或{1}或{2}或{1,2}．
【探究4】　设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．www-2-1-cnjy-com
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解　(1)由题可知：A＝{x| ( http: / / www.21cnjy.com )x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将2带入集合B中得：4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得：a＝－5或a＝1.21*cnjy*com
当a＝－5时，集合B＝{2,10}符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述：a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B A，∵A＝{1,2}，∴B＝ 或B＝{1}或{2}或{1,2}．
若B＝ ，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3；
若B＝{1}，则即不成立；
若B＝{2}，则即不成立；
若B＝{1,2}，则即此时不成立，综上a>3.
规律方法　利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝ 的情况，否则易漏解．
【训练3】　已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
解　由A∩B＝ ，
(1)若A＝ ，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠ ，如下图：
∴解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2或a＞3}．
二、补集及综合应用
【考点总结】
知识点　补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U且x A}
图形语言
【例题解析】
题型一　补集的基本运算
例1、(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则 UM＝(　　)
A．{x|0≤x≤2}　　　 B．{x|0C．{x|x<0或x>2}　　 D．{x|x≤0或x≥2}
(2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a＝________.
解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知 UM＝{x|0≤x≤2}．
(2)由题意可知解得a＝2.
答案　(1)A　(2)2
规律方法　求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合．
【训练1】　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3(2)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析　(1)借助数轴得 UA＝{x|x＝－3或x>4}．
(2)∵ UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
答案　(1){x|x＝－3或x>4}　(2)－3
题型二　集合交、并、补的综合运算
例2、已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解　利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出 UA及 UB，再求解．
则 UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3，或2所以A∩B＝{x|－2( UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩( UB)＝{x|2规律方法　1.求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．21世纪教育网版权所有
2．求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分．
【训练2】　已知集合S＝{x|1求：(1)( SA)∩( SB)；(2) S(A∪B)；(3)( SA)∪( SB)；(4) S(A∩B)．21·cn·jy·com
解　(1)如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，
SA＝{x|1 SB＝{x|1由此可得：(1)( SA)∩( SB)＝{x|1(2) S(A∪B)＝{x|1(3)( SA)∪( SB)＝{x|1(4) S(A∩B)＝{x|1题型三　根据补集的运算求参数的值或范围
【探究1】　如果a∈ UB，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈A∩( UB)”意味着什么？
解　如果a∈ UB，那a B，“a∈A∩( UB)”意味着a∈A且a B.
【探究2】　是否存在元素a，使得a∈A且a∈ UA？若集合A＝{x|－2解　不存在a，使得a∈A且a∈ UA；若A＝{x|－23}．
【探究3】　(1)已知集合A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩( UA)＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．2-1-c-n-j-y
(2)已知集合A＝{x|2a－2解　(1)∵B∩( UA)＝{2}，∴2∈B，但2 A.
∵A∩( UB)＝{4}，∴4∈A，但4 B.
∴解得∴a，b的值分别为，－.
(2) RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ .
∵A? RB，
∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
①若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠ ，则有或∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
规律方法　由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．21·世纪*教育网
【训练3】　设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，求实数a的值．
解　∵ UA＝{5}，∴5∈U，且5 A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，
不满足条件 UA＝{5}，故a＝－4舍去．
综上知a＝2.
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