【同步讲义】人教A版必修1 第7讲 对数函数及其性质的应用 学案（解析版）

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第七讲 对数函数及其性质的应用
【学习目标】
1.进一步理解对数函数的性质(重点).
2.能运用对数函数的性质解决相关问题(重、难点)．
题型一　比较对数值的大小
【例1】　(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A．b(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A．loga5.12.2
C．log1.1(a＋1)解析　(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b(2)对于选项A，因为a和1大小的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B．21教育网
答案　(1)D　(2)B
规律方法　比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
【训练1】　比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)．
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0logaπ题型二　与对数函数有关的值域和最值问题
【例2】　(1)函数f(x)＝(x2＋2x＋3)的值域是________．
(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．
(3)求y＝(x)2－x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解析　(1)f(x)＝(x2＋2x＋3)＝[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，所以[(x＋1)2＋2]≤2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．21世纪教育网版权所有
(2)当a>1时，f(x)在[0 ( http: / / www.21cnjy.com ),1]上单调递增，则最大值和最小值之和为f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＝a，解得a＝，不满足a>1，舍去；21cnjy.com
当0答案　(1)(－∞，－1]　(2)
(3)解　因为2≤x≤4，所以2≥x≥4，
即－1≥x≥－2.设t＝x，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
规律方法　求函数值域或最大(小)值的常用方法
(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．www.21-cn-jy.com
(2)配方法：当所给的函数是可化 ( http: / / www.21cnjy.com )为二次函数形式的(形如y＝a·[f(logax)]2＋bf(logax)＋c，求函数值域问题时，可以用配方法．【来源：21·世纪·教育·网】
(3)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．
(4)换元法：求形如y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )logaf(x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围．2·1·c·n·j·y
【训练2】　函数f(x)＝ (3＋2x－x2)的值域为________．
解析　设u＝3＋2x－x2＝－(x－1) ( http: / / www.21cnjy.com )2＋4≤4，因为u>0，所以0答案　[－2，＋∞)
题型三　对数函数性质的综合应用
方向1　解对数不等式
【例1】　已知log0.3(3x)A．　　　B． C．　　 D．
解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，
所以原不等式等价于解得x>.
答案　A
方向2　与对数函数有关的奇偶性问题
【例2】　已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．
解　(1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0方向3　与对数函数有关的复合函数的单调性
【例3】　(1)求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间；
(2)函数f(x)＝ (3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
解　(1)由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单增区间是，没有单减区间．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)解　令t＝3x2－ax ( http: / / www.21cnjy.com )＋7，则y＝t单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝，【出处：21教育名师】
所以解得－10故a的取值范围为(－10，－6]．
规律方法　1.两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为02．形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
【训练3】　若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析　由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即－xln(－x＋)＝xln(x＋)，
即xln(x＋)＋xln(－x＋)＝0，
∴xln a＝0，又∵x不恒为0，∴ln a＝0，a＝1.
答案　1
课堂小结
1．比较两个对数值的大小及 ( http: / / www.21cnjy.com )解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解．21·世纪*教育网
2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．21*cnjy*com
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