【同步讲义】人教A版必修1 第1讲 集合的含义与表示（解析版）
文档属性
| 名称 | 【同步讲义】人教A版必修1 第1讲 集合的含义与表示（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-19 18:08:29 | ||
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文档简介
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第一讲 集合的含义与表示
【学习目标】
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).
2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点)，记住常用数集的表示符号并会应用．
3.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．
【考点总结】
一、集合的含义
知识点1 元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
知识点2 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
知识点3 常用数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
题型一 集合的判定问题
例1、下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
解 (1)“高个子”没有明确的标 ( http: / / www.21cnjy.com )准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．2·1·c·n·j·y
规律方法 判断一组对象能否构成集合的依据
【训练1】 给出下列说法：
①中国所有的直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________(填序号)．
解析 ②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 ①③
题型二 元素与集合的关系
例2、(1)给出下列关系：①∈R；② Q；③|－3| N；④|－|∈Q；⑤0 N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
解析 (1)①②正确；③④⑤不正确．
(2)∵∈N，x∈N，∴当x＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.www-2-1-cnjy-com
答案 (1)B (2)0,1,2
规律方法 判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．21*cnjy*com
【训练2】设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M B．a M C．a＝M D．a≠M
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a M.【出处：21教育名师】
答案 B
题型三 集合中元素的特性
例3、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．
解 因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
【训练1】 (变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围．
解 由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2.
【训练2】 (变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？
解 由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0.【来源：21cnj*y.co*m】
规律方法 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．【版权所有：21教育】
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
二、集合的表示
知识点 集合的表示方法
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．www.21-cn-jy.com
题型一 用列举法表示集合
例1、用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)不大于10的正偶数集；
(3)方程组的解集．
解 (1)因为15的正约数为1,3,5,15，
所以所求集合可表示为{1,3,5,15}．
(2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10，
所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．
(3)解方程组得
所以所求集合可表示为{(－3,0)}．
规律方法 用列举法表示集合的三个注意点
(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．
(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．
(3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．
【训练1】 用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于5的偶数；
(2)24与36的公约数；
(3)方程组的解集．
解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．
(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．
(3)由得
∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}＝{(1,1)}，是有限集.
题型二 用描述法表示集合
例2、用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．21世纪教育网版权所有
(2)设被3除余2的数为x ( http: / / www.21cnjy.com )，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．21教育网
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．21cnjy.com
【训练1】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”
解 位于第二象限的点(x，y)的横坐标为负，纵坐标为正，
即x<0，y>0，故第二象限的点的集合为{(x，y)|x<0，y>0}．
【训练2】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”
解 本题是用图形语言给出的问题，要求 ( http: / / www.21cnjy.com )把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．2-1-c-n-j-y
规律方法 用描述法表示集合的注意点
(1)“竖线”前面的x∈R可简记为x；
(2)“竖线”不可省略；
(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；
(4)同一集合用描述法表示可以不唯一．
题型三 集合表示方法的综合应用
例3、(1)用列举法表示集合A＝＝________.
(2)集合A＝{x∈kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.21·世纪*教育网
(1)解析 ∵x∈Z且∈N，∴1≤ ( http: / / www.21cnjy.com )6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时， N；当x＝0时， N；当x＝1时， N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时， N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}．21教育名师原创作品
答案 {－2,2,4,5}
(2)解 ①当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}；
②当k≠0时，
∵集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．
∴Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴A＝{4}．
综上可知，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
规律方法 1.识别集合的两个步骤：
一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集；
二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
2．方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数
在涉及ax2＋bx＋c＝0的 ( http: / / www.21cnjy.com )根的集合中，要讨论二次项的系数a是否为0，当a＝0时，方程为bx＋c＝0是一次方程，再分b是否为0两种情况讨论其根的个数；当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数．21·cn·jy·com
【训练1】 用列举法表示下列集合．
(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
解 (1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，
所以A＝{2,5,6}．
(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则应有
所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
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第一讲 集合的含义与表示
【学习目标】
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).
2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点)，记住常用数集的表示符号并会应用．
3.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．
【考点总结】
一、集合的含义
知识点1 元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
知识点2 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
知识点3 常用数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
题型一 集合的判定问题
例1、下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
解 (1)“高个子”没有明确的标 ( http: / / www.21cnjy.com )准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．2·1·c·n·j·y
规律方法 判断一组对象能否构成集合的依据
【训练1】 给出下列说法：
①中国所有的直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________(填序号)．
解析 ②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 ①③
题型二 元素与集合的关系
例2、(1)给出下列关系：①∈R；② Q；③|－3| N；④|－|∈Q；⑤0 N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
解析 (1)①②正确；③④⑤不正确．
(2)∵∈N，x∈N，∴当x＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.www-2-1-cnjy-com
答案 (1)B (2)0,1,2
规律方法 判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．21*cnjy*com
【训练2】设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M B．a M C．a＝M D．a≠M
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a M.【出处：21教育名师】
答案 B
题型三 集合中元素的特性
例3、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．
解 因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
【训练1】 (变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围．
解 由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2.
【训练2】 (变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？
解 由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0.【来源：21cnj*y.co*m】
规律方法 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．【版权所有：21教育】
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
二、集合的表示
知识点 集合的表示方法
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．www.21-cn-jy.com
题型一 用列举法表示集合
例1、用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)不大于10的正偶数集；
(3)方程组的解集．
解 (1)因为15的正约数为1,3,5,15，
所以所求集合可表示为{1,3,5,15}．
(2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10，
所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．
(3)解方程组得
所以所求集合可表示为{(－3,0)}．
规律方法 用列举法表示集合的三个注意点
(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．
(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．
(3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．
【训练1】 用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于5的偶数；
(2)24与36的公约数；
(3)方程组的解集．
解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．
(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．
(3)由得
∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}＝{(1,1)}，是有限集.
题型二 用描述法表示集合
例2、用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．21世纪教育网版权所有
(2)设被3除余2的数为x ( http: / / www.21cnjy.com )，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．21教育网
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．21cnjy.com
【训练1】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”
解 位于第二象限的点(x，y)的横坐标为负，纵坐标为正，
即x<0，y>0，故第二象限的点的集合为{(x，y)|x<0，y>0}．
【训练2】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”
解 本题是用图形语言给出的问题，要求 ( http: / / www.21cnjy.com )把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．2-1-c-n-j-y
规律方法 用描述法表示集合的注意点
(1)“竖线”前面的x∈R可简记为x；
(2)“竖线”不可省略；
(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；
(4)同一集合用描述法表示可以不唯一．
题型三 集合表示方法的综合应用
例3、(1)用列举法表示集合A＝＝________.
(2)集合A＝{x∈kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.21·世纪*教育网
(1)解析 ∵x∈Z且∈N，∴1≤ ( http: / / www.21cnjy.com )6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时， N；当x＝0时， N；当x＝1时， N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时， N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}．21教育名师原创作品
答案 {－2,2,4,5}
(2)解 ①当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}；
②当k≠0时，
∵集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．
∴Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴A＝{4}．
综上可知，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
规律方法 1.识别集合的两个步骤：
一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集；
二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
2．方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数
在涉及ax2＋bx＋c＝0的 ( http: / / www.21cnjy.com )根的集合中，要讨论二次项的系数a是否为0，当a＝0时，方程为bx＋c＝0是一次方程，再分b是否为0两种情况讨论其根的个数；当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数．21·cn·jy·com
【训练1】 用列举法表示下列集合．
(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
解 (1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，
所以A＝{2,5,6}．
(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则应有
所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
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