【同步讲义】人教A版必修1 第1讲 指数与指数幂的运算（解析版）

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第一讲 指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.
2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).
3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点)．
知识点1　根式
1．n次方根
(1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)个数：
n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x不存在
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：()n＝a，＝(其中n>1且n∈N*)．
知识点2　指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝eq \f(1,a)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．21世纪教育网版权所有
题型一　根式的运算
【例1】　求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；
(4)－，x∈(－3,3)．
解　(1) ＝－2.
(2) ＝＝.
(3) ＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
规律方法　根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意点：①正确区分()n与两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．21教育网
【训练1】　求下列各式的值：(1)；(2)－＋.
解　(1)＝|x－y|，
当x≥y时，＝x－y；
当x(2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2.
题型二　根式与分数指数幂的互化
【例2】　用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)a2；(2)；
(3)·；(4)()2·.
解　(1)原式＝a2a＝a2＋＝a.
(2)原式＝eq \r(a·a)＝eq \r(a)＝a.
(3)原式＝a·a＝a＋＝a.
(4)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))2·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab.
规律方法　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出．
【训练2】　把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0，b>0)：
(1)eq \r(4,b－)；(2)；(3).
解　(1) eq \r(4,b－)＝beq \f(,4)＝b－×＝b－.
(2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·a))))＝a·a·a＝a＋＋＝a.
(3)原式＝[(a3＋b3)2]－＝(a3＋b3)2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))＝(a3＋b3)－.
题型三　分数指数幂的运算
【例3】　计算下列各式：
(1)2××；
(2)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(3)eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3ab))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8ab)),－4\r(6,a4)·\r(b3)).
解　(1)原式＝2×3××12＝21＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2)原式＝＋－2＋－－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝eq \f( －24 ×a＋×b＋, －4 ×a×b)＝6×a＋－×b＋－＝6ab－.
规律方法　1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．21·cn·jy·com
2．根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式．
(2)利用分数指数幂的运算性质求解．
【训练3】　化简：(1)a·a·a (a>0)；
(2)－·eq \f( \r(4ab－1) 3,0.1－2 a3b－3 )(a>0，b>0)．
解　(1)原式＝a＋＋＝a.
(2)原式＝4·eq \f(4·a·b－,100×a·b－)＝＝.
题型四　由条件求值
【例4】　已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
解　(1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
规律方法　由条件求值问题的解题步骤
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；
(2)化简：化简已知条件与所求代数式；
(3)把已知条件代入求值．
【训练4】　已知a－a－＝，则a＋a－＝________.
解析　因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋a－))2＝a＋a－1＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－a－))2＋4＝5＋4＝9，又因为a＋a－>0，所以a＋a－＝3.21cnjy.com
答案　3
课堂小结
1．掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*，＝a，n为偶数且n∈N*，＝|a|＝www.21-cn-jy.com
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有 ( http: / / www.21cnjy.com )理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．2·1·c·n·j·y
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