【同步讲义】人教A版必修1 第3讲 指数函数及其性质的应用（解析版）

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第三讲 指数函数及其性质的应用
【学习目标】
1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).
2.能运用指数函数的单调性解决一些问题(重、难点)．
题型一　指数函数单调性的应用
方向1　比较两数的大小
【例1】　(1)下列大小关系正确的是(　　)
A．0.43<30.4<π0　　　 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0　　 D．π0<30.4<0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b解析　(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B．
(2)∵1.50.6>1. ( http: / / www.21cnjy.com )50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C．21cnjy.com
答案　(1)B　(2)C
方向2　解简单的指数不等式
【例2】　(1)不等式3x－1≤2的解集为________．
(2)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
(1)解析　∵2＝－1，∴原不等式可化为3x－1≤－1，∵函数y＝x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．www-2-1-cnjy-com
答案　{x|x≥0}
(2)解　当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－；
当0ax＋7，∴－5x－.
综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；当0－.
方向3　指数型函数的单调性
【例3】　判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜u≤－1＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
规律方法　1.比较幂值大小的三种类型及处理方法
2．解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论．21·世纪*教育网
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．2-1-c-n-j-y
3．函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0题型二　指数函数的实际应用
【例2】　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.21世纪教育网版权所有
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？21·cn·jy·com
解　(1)过滤1次后的杂质含量为×＝×；
过滤2次后的杂质含量为×＝×2；
过滤3次后的杂质含量为×＝×3；
…
过滤n次后的杂质含量为×n(n∈N*)．
故y与n的函数关系式为y＝×n(n∈N*)．
(2)由(1)知当n＝7时，y＝×7＝>，
当n＝8时，y＝×8＝<，
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．
规律方法　指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题．
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增 ( http: / / www.21cnjy.com )长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型．21教育网
【训练1】　春天来了，某池塘 ( http: / / www.21cnjy.com )中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷 ( http: / / www.21cnjy.com )叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．【来源：21·世纪·教育·网】
答案　19
题型三　指数函数性质的综合应用
【例3】　已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
解　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，
即a＋＝0，a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
规律方法　解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
【训练2】　已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
(1)解　由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)解　令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3.
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
又∵φ(x)＝x3为奇函数，
∴f(x)＝·x3为偶函数．
(3)证明　当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
课堂小结
1．比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.www.21-cn-jy.com
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．2·1·c·n·j·y
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
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