【同步讲义】人教A版必修1 第2讲 指数函数的图象及性质（解析版）

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第二讲 指数函数的图象及性质
【学习目标】
1.了解指数函数的概念(易错点).
2.会画出指数函数图象(重点).
3.掌握并能应用指数函数的性质(重、难点)．
知识点1　指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
知识点2　指数函数的图象及性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
题型一　指数函数的概念及应用
【例1】　(1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A．0　　　 B．1　　　 C．2　　 D．4
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
解析　(1)①中，3x的系数是2，故①不是 ( http: / / www.21cnjy.com )指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝a－＝5－，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
答案　(1)B　(2)125
规律方法　判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
【训练1】　若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)
A．a＝1或－1　　　 B．a＝1
C．a＝－1　　 D．a>0且a≠1
解析　由条件知解得a＝－1.
答案　C
题型二　指数函数图象的应用
【例2】　(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．21世纪教育网版权所有
(2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
(1)解析　因为y＝ax的图象过定点( ( http: / / www.21cnjy.com )0,1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1)．21·cn·jy·com
答案　(－1，－1)
(2)解　y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x的图象关于y轴的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示．
规律方法　处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．www.21-cn-jy.com
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
【训练2】　(1)函数y＝2|x|的图象是(　　)
(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0解析　(1)y＝2|x|＝故选B．
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)为减函数，从而有00，即b<0.21cnjy.com
答案　(1)B　(2)D
题型三　指数型函数的定义域、值域问题
【例3】　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3,0]　　　 B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]　　 D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
(3)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为________．
解析　(1)由题意得自变量x应满足解得－3(2)∵－1≤x≤2，∴≤x≤3，∴－≤x－1≤2，∴值域为.
(3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞)．21教育网
答案　(1)A　(2)　(3)(1，＋∞)
规律方法　指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域：①换元，t＝f(x)．
②求t＝f(x)的定义域为x∈D.
③求t＝f(x)的值域为t∈M.
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
【训练3】　求函数y＝5的定义域和值域．
解　由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，
因为>0，所以y＝5>1，故函数的值域为{y|y>1}．
课堂小结
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2·1·c·n·j·y
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,03．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．21·世纪*教育网
4．求函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域的关键是求f(x)的值域．
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