【同步讲义】人教A版必修1 第6讲 分段函数及映射 学案（解析版）

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第六讲 分段函数及映射
【学习目标】
1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).
2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)．
知识点1　分段函数
分段函数的定义：
(1)前提：在函数的定义域内；
(2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系；
(3)结论：这样的函数称为分段函数．
知识点2　映射
映射的定义：
题型一　映射的概念及应用
例1、(1)下列对应是集合A到集合B上的映射的是(　　)
A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3|
B．A＝N*，B＝{－1,1，－2}，f：x→(－1)x
C．A＝Z，B＝Q，f：x→
D．A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根
(2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求：
①A中元素(－1,2)在f作用下与之对应的B中的元素．
②在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素．
(1)解析　对于选项A，由于A中的 ( http: / / www.21cnjy.com )元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值在B中找不到象，所以不是映射；对于选项B，对任意的正整数x，在集合B中有唯一的1或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f下无意义，所以不是映射；对于选项D，正整数在实数集R中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射．21世纪教育网版权所有
答案　B
(2)解　①由题意可知当x＝－1，y＝2时，3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6，
4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A中元素(－1,2)在f的作用下与之对应的B中的元素是(－6,1)．
②设在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素为(x，y)，
则解之得，即A中的元素为.
规律方法　1.判断一个对应是不是映射的两个关键
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应．
(2)B中的对应元素是不是唯一的．
2．求对应元素的两种类型及处理思路(映射f：A→B)
(1)若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可．
(2)若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．21教育网
【训练1】　下列各个对应中，构成映射的是(　　)
解析　对于A，集合M中元素2在集合N中无元素与之对应，对于C，D，均有M中的一个元素与集合N中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B．21cnjy.com
答案　B
题型二　分段函数求值问题
例2、已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f.
解　由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
【迁移1】　(变换所求)例2条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；
当－2当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2.
【迁移2】　(变换所求)例2的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．
解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}．
规律方法　1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．由分段函数的函数值求自变量的方法
已知分段函数的函数值求对应 ( http: / / www.21cnjy.com )的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
【训练2】　函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
解析　当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)．
当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.
综上，x0＝－或x0＝4.
答案　－或4
题型三　分段函数的图象及应用
例3、(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示函数f(x)；
②画出函数f(x)的图象；
③写出函数f(x)的值域．
(1)解析　当0≤x≤1时，f(x)＝－1；
当1则
解得此时f(x)＝x－2.
综上，f(x)＝
答案　f(x)＝
(2)解　①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示．
③由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
规律方法　1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数式：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
2．作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．21·cn·jy·com
【训练3】　已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的值域．
解　 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
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