【同步讲义】人教A版必修1 第8讲 函数的最值 学案（解析版）

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第八讲 函数的最值
【学习目标】
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).
2.会借助单调性求最值(重点).
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)．
知识点　函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
题型一　用图象法和函数的单调性求函数的最值
例1、(1)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为________，________.
(2)求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
(1)解析　作出函数f(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，21世纪教育网版权所有
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
答案　1　0
(2)解　任取2≤x1则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x10，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝.
规律方法1.图象法求最值的步骤
2．利用函数的单调性求最值的两个易错点
(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行．
(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值．21cnjy.com
【训练1】　已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
(1)证明　设1≤x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)·.
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)解　由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增，
∴当x＝1时，
f(x)min＝f(1)＝2，
当x＝4时，
f(x)max＝f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2.
题型二　函数最值的实际应用
例2、某公司生产一种电子仪器 ( http: / / www.21cnjy.com )的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．21教育网
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000；
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．
规律方法　求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．21·cn·jy·com
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．
特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．
【训练2】　某水厂蓄水池有水450 ( http: / / www.21cnjy.com )吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为80吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？
解　设t小时后，池中水量为y吨，则
y＝450＋80t－80＝4(－10)2＋50，
当＝10，即t＝5时，ymin＝50，
所以5小时后蓄水池中水量最少，最少为50吨.
题型三　二次函数的最值
【探究1】　(1)求函数y＝x2－2x＋2的单调区间．
(2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间．
解　(1)函数y＝x2－2x＋2是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线，
故其单减区间是(－∞，1)，单增区间是(1，＋∞)．
(2)函数y＝－x2－2x＋2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，故其单减区间是(－1，＋∞)，单增区间是(－∞，－1)．2·1·c·n·j·y
【探究2】　函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？
解　函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1，
(1)因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最大值为f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2；
(2)因为f(x)在区间[－1,1]上单调 ( http: / / www.21cnjy.com )递减，在[1,2]上单调递增，则f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5.
(3)因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5.
【探究3】　已知函数f(x)＝x2－ax＋1，
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
解　(1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝.
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以f(x)min＝f＝.
规律方法　含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首 ( http: / / www.21cnjy.com )先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
课堂小结
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最
值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区 ( http: / / www.21cnjy.com )间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．www.21-cn-jy.com
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．【来源：21·世纪·教育·网】
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