【同步讲义】人教A版必修1 第1讲 方程的根与函数的零点（解析版）

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第一讲 方程的根与函数的零点
【学习目标】
1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).
2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).
3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．
知识点1　函数的零点
(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
知识点2　函数零点的判断
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．21教育网
题型一　函数零点的概念及求法
【例1】　(1)函数y＝1＋的零点是(　　)
A．(－1,0)　　　 B．x＝－1　　　 C．x＝1　　 D．x＝0
(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________．
(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝________.
解析　(1)令1＋＝0，
解得x＝－1，故选B．
(2)令f(x)＝21－x－4＝0解 ( http: / / www.21cnjy.com )得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.【来源：21·世纪·教育·网】
(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.
答案　(1)B　(2)－2　(3)3
规律方法　函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【训练1】　函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析　∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是 ( http: / / www.21cnjy.com )2，∴2a＋b＝0 b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，∵－ax(2x＋1)＝0 x＝0，x＝－，∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.
答案　0，－
题型二　确定函数零点的个数
【例2】　判断下列函数零点的个数．
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
解　(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，得Δ＝2－4×＝－<0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.
(2)法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．21世纪教育网版权所有
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
规律方法　判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
【训练2】　函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　)
A．0　　　 B．1　　　 C．2　　 D．3
解析　如图画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．21cnjy.com
答案　C
题型三　判断函数零点所在的区间
【例3】　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2,4)　　　 B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)　　 D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1)　　　 B．(1,2) C．(2,4)　　 D．(4，＋∞)
解析　(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A．21·cn·jy·com
(2)∵f(x)＝－log2x，∴f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知包含f(x)零点的区间是(2,4)．www.21-cn-jy.com
答案　(1)A　(2)C
规律方法　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．21·世纪*教育网
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【训练3】　(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1)　　 D．(1,2)
(2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　)
A．－2　　　 B．1　　　 C．－2或1　　 D．0
解析　(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
(2)由题意知，x≠0，则原方 ( http: / / www.21cnjy.com )程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C．2·1·c·n·j·y
答案　(1)C　(2)C
课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．www-2-1-cnjy-com
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．2-1-c-n-j-y
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