【同步讲义】人教A版必修1 第9讲 函数的奇偶性 学案（解析版）

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第九讲 函数的奇偶性
【学习目标】
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).
2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).
3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点)．
知识点　函数的奇偶性
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
题型一　函数奇偶性的判断
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
规律方法　判断函数奇偶性的两种方法：
(1)定义法：
(2)图象法：
【训练1】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解　(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
题型二　奇、偶函数的图象问题
例2、已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
解　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．21世纪教育网版权所有
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
规律方法　1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
【训练2】　已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．21教育网
解　f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，
由图象知，f(2)题型三　函数奇偶性的应用
方向1　利用奇偶性求函数值
例1、已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)
A．26　　　 B．18 C．10　　 D．－26
解析　法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，
得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，
∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)
＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，
即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
法二　由已知条件，得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，
又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.
答案　D
方向2　利用奇偶性求参数值
例2、若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.21cnjy.com
答案　－1
方向3　利用奇偶性求函数的解析式
例3、已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
解　当x＜0，－x＞0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
规律方法　1.利用函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函数值，比较f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系数可求参数值．21·cn·jy·com
2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
课堂小结
1．定义域在数轴上关于原点对称是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．www.21-cn-jy.com
2．奇偶函数的定义是判断函数 ( http: / / www.21cnjy.com )奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x) f(－x) f(x)＝0 ＝±1(f(x)≠0)．
3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)对函数值及函数解析式进行转换．2·1·c·n·j·y
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