【同步讲义】人教A版必修1 第3讲 几类不同增长的函数模型（解析版）

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第三讲 几类不同增长的函数模型
【学习目标】
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2-1-c-n-j-y
2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点)．
知识点　三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 随n值而不同
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax
题型一　几类函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 017x　　　 B．y＝x2 017
C．y＝log2 017x　　 D．y＝2 017x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A．
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函 ( http: / / www.21cnjy.com )数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．21世纪教育网版权所有
答案　(1)A　(2)y2
规律方法　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型：能用 ( http: / / www.21cnjy.com )指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数型函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．21教育网
(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定．21·cn·jy·com
【训练1】　下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)
A．y＝ex　　　B．y＝100 ln x C．y＝x100　　 D．y＝100·2x
解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A．
答案　A
题型二　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【例2】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小．
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)， ( http: / / www.21cnjy.com )所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 011)>g(2 011)．又因为g(2 011)>g(6)，所以f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)．www.21-cn-jy.com
【迁移1】　(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？
解　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.2·1·c·n·j·y
【迁移2】　(变换所求)本例条件不变，例 ( http: / / www.21cnjy.com )2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小．【来源：21·世纪·教育·网】
解　因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 015)>g(2 015)，又因为g(2 015)>g(8)，所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8)．21·世纪*教育网
规律方法　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数 ( http: / / www.21cnjy.com )函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．www-2-1-cnjy-com
题型三　函数模型的选择问题
【例3】　某化工厂开发研 ( http: / / www.21cnjy.com )制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？21*cnjy*com
解　根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．【来源：21cnj*y.co*m】
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第 ( http: / / www.21cnjy.com )四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．【出处：21教育名师】
规律方法　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．【版权所有：21教育】
【训练2】　某债券市场发行三种债券，A ( http: / / www.21cnjy.com )种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？21教育名师原创作品
解　A种债券的收益是每100 ( http: / / www.21cnjy.com )元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为1002≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券．
课堂小结
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．21cnjy.com
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