【同步讲义】人教A版必修1 第7讲 函数的单调性 学案（解析版）

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第七讲 函数的单调性
【学习目标】
1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).
2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．
知识点1　增函数与减函数
知识点2　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2-1-c-n-j-y
题型一　求函数的单调区间
例1、(1)如图所示的是定义在区间[－ ( http: / / www.21cnjy.com )5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．21*cnjy*com
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
(1)解析　观察图象可知， ( http: / / www.21cnjy.com )y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．【来源：21cnj*y.co*m】
答案　[－2,1]　[3,5]　[－5，－2]　[1,3]
(2)解　y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
规律方法　根据函数的图象求函数单调区间的方法
(1)作出函数图象；
(2)把函数图象向x轴作正投影；
(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间．
【训练1】　函数y＝的单调减区间是________．
解析　y＝的图象可由函数y＝的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．21cnjy.com
答案　(－∞，1)，(1，＋∞)
题型二　证明函数的单调性
例2、证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数．
证明　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
因为24，x1x2－4>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
规律方法　利用定义证明函数单调性的步骤
【训练2】　证明函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
证明　设x1，x2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x10，x1＋x2<0，xx>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
题型三　用单调性解不等式
例3、已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解　由题知解得0规律方法　利用函数的单调性解不等式的方法
当函数f(x)的解析式未知时， ( http: / / www.21cnjy.com )欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．21世纪教育网版权所有
【训练3】　已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)解析　由题意得解得－1≤x<.
答案　
题型四　根据函数的单调性求参数的取值范围
【探究1】　若函数y＝ax＋5是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
【探究2】　已知函数y＝x2＋2ax＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析　函数y＝x2＋2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝－a，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a≥1，即a≤－1.21教育网
答案　(－∞，－1]
【探究3】　分别作出函数f(x)＝和g(x)＝的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．www.21-cn-jy.com
解　函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数；
函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．
　　　
【探究4】　已知函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围．
解　由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.
【探究5】　若函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围．
解　由题意可得解得－3≤a≤－1，
则实数a的取值范围是[－3，－1]．
规律方法　已知函数的单调性求参数的关注点
(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；21·cn·jy·com
(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．
课堂小结
1．对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一 ( http: / / www.21cnjy.com )区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等 ( http: / / www.21cnjy.com )关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．【来源：21·世纪·教育·网】
(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．www-2-1-cnjy-com
2．单调性的证明方法
证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：
(1)设元：设x1，x2∈D且x1(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；
(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；
(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；
(5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．21·世纪*教育网
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