【同步讲义】人教A版必修1 第4讲 函数模型的应用实例（解析版）
文档属性
| 名称 | 【同步讲义】人教A版必修1 第4讲 函数模型的应用实例（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-19 18:08:29 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第四讲 函数模型的应用实例
【学习目标】
1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).
2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．
知识点1 常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数 y＝
知识点2 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
题型一 一次函数、二次函数模型
【例1】 商场销售某一品牌的羊毛衫， ( http: / / www.21cnjy.com )购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：21教育网
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？21cnjy.com
解 (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)．
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])【来源：21cnj*y.co*m】
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．【出处：21教育名师】
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
【训练1】 某水厂的蓄水池中有400吨 ( http: / / www.21cnjy.com )水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．
解 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．
设u＝，则u∈[0,2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，
∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少．
题型二 指数型函数、对数型函数模型
【例2】 大西洋鲑鱼每年都 ( http: / / www.21cnjy.com )要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．21教育名师原创作品
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
解 (1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0 ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．2-1-c-n-j-y
(2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．21*cnjy*com
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路 ( http: / / www.21cnjy.com )：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【训练2】 一片森林原来面积 ( http: / / www.21cnjy.com )为a，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
题型三 分段函数模型
【例3】 经市场调查，某城市的一种 ( http: / / www.21cnjy.com )小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0≤t≤10时y＝－t2＋10t＋1 200＝
－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5]递增，在t∈(5,10]递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10图象开口向上，对称轴为t＝ ( http: / / www.21cnjy.com )45，该函数在t∈(10,20]递减，∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．www.21-cn-jy.com
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．
规律方法 应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
【训练3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：【版权所有：21教育】
H(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解 (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t.
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．
题型四 建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】 为了估计山上积 ( http: / / www.21cnjy.com )雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.【来源：21·世纪·教育·网】
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若变今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解 (1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据 ( http: / / www.21cnjy.com )点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：21世纪教育网版权所有
y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图( ( http: / / www.21cnjy.com )乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．21·cn·jy·com
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．21·世纪*教育网
规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤
【训练4】 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份 1999 2000 2001 2002
x/年 0 1 2 3
生产总值 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
解 (1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y＝kx＋b，2·1·c·n·j·y
把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，
解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
因此，所求的函数关系式为
y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，
f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
课堂小结
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函 ( http: / / www.21cnjy.com )数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．www-2-1-cnjy-com
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．21*cnjy*com
4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第四讲 函数模型的应用实例
【学习目标】
1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).
2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．
知识点1 常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数 y＝
知识点2 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
题型一 一次函数、二次函数模型
【例1】 商场销售某一品牌的羊毛衫， ( http: / / www.21cnjy.com )购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：21教育网
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？21cnjy.com
解 (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)．
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])【来源：21cnj*y.co*m】
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．【出处：21教育名师】
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
【训练1】 某水厂的蓄水池中有400吨 ( http: / / www.21cnjy.com )水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．
解 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．
设u＝，则u∈[0,2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，
∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少．
题型二 指数型函数、对数型函数模型
【例2】 大西洋鲑鱼每年都 ( http: / / www.21cnjy.com )要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．21教育名师原创作品
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
解 (1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0 ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．2-1-c-n-j-y
(2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．21*cnjy*com
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路 ( http: / / www.21cnjy.com )：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【训练2】 一片森林原来面积 ( http: / / www.21cnjy.com )为a，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
题型三 分段函数模型
【例3】 经市场调查，某城市的一种 ( http: / / www.21cnjy.com )小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0≤t≤10时y＝－t2＋10t＋1 200＝
－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5]递增，在t∈(5,10]递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．
规律方法 应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
【训练3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：【版权所有：21教育】
H(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解 (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t.
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．
题型四 建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】 为了估计山上积 ( http: / / www.21cnjy.com )雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.【来源：21·世纪·教育·网】
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若变今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解 (1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据 ( http: / / www.21cnjy.com )点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：21世纪教育网版权所有
y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图( ( http: / / www.21cnjy.com )乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．21·cn·jy·com
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．21·世纪*教育网
规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤
【训练4】 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份 1999 2000 2001 2002
x/年 0 1 2 3
生产总值 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
解 (1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y＝kx＋b，2·1·c·n·j·y
把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，
解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
因此，所求的函数关系式为
y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，
f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
课堂小结
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函 ( http: / / www.21cnjy.com )数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．www-2-1-cnjy-com
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．21*cnjy*com
4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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