【同步讲义】人教A版必修1 第2讲 用二分法求方程的近似解（解析版）

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第二讲 用二分法求方程的近似解
【学习目标】
1.能用二分法求出方程的近似解.
2.了解二分法求方程近似解．
知识点1　二分法的定义
(1)满足的条件：
在区间[a，b]上连续不断的函数y＝f(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)<0.
(2)操作过程：
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值．
知识点2　二分法求函数零点近似值的步骤
题型一　二分法概念的理解
【例1】　(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．21·cn·jy·com
解析　(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．2·1·c·n·j·y
(2)设f(x)＝2x＋3x－ ( http: / / www.21cnjy.com )7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．【来源：21·世纪·教育·网】
答案　(1)B　(2)(1,2)
规律方法　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
【训练1】　已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.21·世纪*教育网
答案　D
题型二　用二分法求函数的零点
【例2】　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．
解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号
(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0
(1.312 5,1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0
(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0
因为|1.328 125－1.32 ( http: / / www.21cnjy.com )0 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.www.21-cn-jy.com
规律方法　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计 ( http: / / www.21cnjy.com )算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．www-2-1-cnjy-com
【训练2】　证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解　设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f ( http: / / www.21cnjy.com )(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间(1,2)上有唯一一个实数解，设该解为x0，则x0∈(1,2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，21*cnjy*com
∴x0∈(1,1.5)．
取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1,1.25)．
取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)．21世纪教育网版权所有
取x4＝1.187 5，f(1.187 5) ( http: / / www.21cnjy.com )＝－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则方程的一个实数解可取x0＝1.25.
题型三　用二分法求方程的近似解
【例3】　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
解　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，2-1-c-n-j-y
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f()
(0,1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)＜0 f(0.75)＞0 f(0.625)＜0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)＜0 f(0.75)＞0 f(0.687 5)＜0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
规律方法　用二分法求方程的近似解的思路和方法
(1)思路：求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)方法：对于求形如f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．21教育网
【训练3】　求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
解　设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(2)＝－1，f(3)＝2 (2,3)
x1＝＝2.5 f(2.5)＝0.25>0 (2,2.5)
x2＝＝2.25 f(2.25)＝－0.437 5<0 (2.25,2.5)
x3＝＝2.375 f(2.375)<0 (2.375,2.5)
x4＝＝2.437 5 f(2.437 5)>0 (2.375,2.437 5)
由上表的计算可知，
|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1.
因此可以选取区间(2.375,2.437 5)的任意一个数，例如取2.4作为函数的一个零点，从而方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4.21cnjy.com
课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二 ( http: / / www.21cnjy.com )，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．
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