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第四讲 函数的概念
一、选择题
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( )
A．f(x)＝·，g(x)＝
B．f(x)＝()2，g(x)＝2x－5
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝与g(t)＝()2
3．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
5．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
二、填空题
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
7．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________.
8．若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为________．
三、解答题
9．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x－.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；
(2)求证：f(x)＋f()是定值；
(3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 012)＋f()的值．
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第四讲 函数的概念
一、选择题
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
解析：选A 对于A，由x＝y2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6 y＝x－3是一次函数；对于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函数．故选A.2·1·c·n·j·y
2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( )
A．f(x)＝·，g(x)＝
B．f(x)＝()2，g(x)＝2x－5
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝与g(t)＝()2
解析：选D A中，f(x)＝·的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝()2的定义域为{x|x≥}，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝()2＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．21世纪教育网版权所有
3．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：选B A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
解析：选B y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
5．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选B ∵f(2)＝＝，f()＝＝－，
∴＝×(－)＝－1.
二、填空题
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：由题意3a－1>a，则a>.
答案：(，＋∞)
7．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________.
解析：f[f(x)]＝＝＝.
答案：(x≠0，且x≠1)
8．若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为________．
解析：要使原函数有意义，必须mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．21教育网
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．
当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>.
故综上可知，m的取值范围是{m|m>}．
答案：{m|m>}
三、解答题
9．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x－.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2, ( http: / / www.21cnjy.com )3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．21cnjy.com
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝(t－)2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是{y|y≥－}．21·cn·jy·com
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；
(2)求证：f(x)＋f()是定值；
(3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 012)＋f()的值．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f()＝＋＝1，
f(3)＋f()＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f()＝1，
∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2 012)＋f()＝1.www.21-cn-jy.com
∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 012)＋f()＝2 011.
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