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第三讲 指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．函数y＝2x＋1的图象是( )
【答案】选A 函数y＝2x的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象是经过定点(0,1)、在x轴上方且呈上升趋势的曲线，依据函数图象的画法可得函数y＝2x＋1的图象过点(0,2)、在x轴上方且呈上升趋势．故选A.21教育网
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
【答案】选B 因为f(x)，g(x)的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域均为R，且f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.21cnjy.com
3．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
【答案】选D 由题意得
解得4≤a＜8.
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：法一：选A 当x>0时，3x>3－x，f(x)＝3－x，
f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；
当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．
综上，f(x)的值域是(0,1]．
法二：作出f(x)＝3x⊙3－x的图象，如图．
可知值域为(0,1]．
5．已知实数a、b满足等于a＝b，给出下列五个关系式：①0
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B 作y＝x与y＝x的图象．当 ( http: / / www.21cnjy.com )a＝b＝0时，a＝b＝1；当ab>0时，也可以使a＝b.故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.
二、填空题
6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
解析：∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x.即x>.
答案：(，＋∞)
7．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：法一：由指数函数的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )可知f(x)＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．21·cn·jy·com
法二：f(x)＝|x－1|＝
可画出f(x)的图象求其单调递增区间．
答案：(－∞，1]
8．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．
解析：令x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0,1)．
方程转化为t2＋2t＋a＝0，
∴a＝1－(t＋1)2.
∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)．
答案：(－3,0)
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即
∴a＝±.21世纪教育网
又a>1，∴a＝.
当0∴即解得a∈ ，
综上所述，a＝.
10．对于函数f(x)＝a－(a∈R)，
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数？证明你的结论．
解：(1)函数f(x)为R上的增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝
－
＝－＝.
∵y＝2x是R上的增函数，∴2x1<2x2，即f(x1)－f(x2)<0.故f(x)为R上的增函数．
(2)假设存在实数a，使函数f(x)为奇函数，
即f(－x)＝－f(x)．
∵a－＝－a＋.
∴2a＝＋＝＋
＝＝2，∴a＝1.
故存在实数a＝1，使f(x)为奇函数
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第三讲 指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．函数y＝2x＋1的图象是( )
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
3．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
5．已知实数a、b满足等于a＝b，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题
6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
8．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
10．对于函数f(x)＝a－(a∈R)，
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数？证明你的结论．
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