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第二讲 集合间的基本关系
一、选择题
1．设集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，则集合A∪B＝( )
A．{1,3,1,2,4,5} B．{1}
C．{1,2,3,4,5} D．{2,3,4,5}
【解析】 ∵集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，∴集合A∪B＝{1,2,3,4,5}．故选C.
【答案】 C
2．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，那么A∩B等于( )
A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}
C．{2,3,4} D．{x∈R|1＜x≤5}
【解析】 ∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，∴A∩B＝{x∈R|1＜x≤5}，故选D.
【答案】 D
3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )
A．1 B．3
C．4 D．8
【解析】 A＝{1,2}，A ( http: / / www.21cnjy.com )∪B＝{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个．故选C.21世纪教育网版权所有
【答案】 C
4．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )
A．{0，x,1,2} B．{2,0,1,2}
C．{0,1,2} D．不能确定
【解析】 ∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，则x＝2，∴M＝{0,2}，∴M∪N＝{0,1,2}，故选C.2·1·c·n·j·y
【答案】 C
5．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ∵A＝{1,4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，∵A∪B＝{1,4，x}，
∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2，满足条件的实数x有0,2，－2，共3个，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为________人．21cnjy.com
【解析】 如图，设两门都得优的人数是x，则依题意得20－x＋(15－x)＋x＋20＝45，
整理，得－x＋55＝45，解得x＝10，即两门都得优的人数是10人．
【答案】 10
7．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图1 1 1中阴影部分表示的集合为________．
图1 1 1
【解析】 注意到集合A中的元素为自然数，因此 ( http: / / www.21cnjy.com )A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}．21·世纪*教育网
【答案】 {2}
8．若集合A＝，B＝，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.
【解析】 当a＞2时，A∩B＝ ；
当a＜2时，A∩B＝；当a＝2时，A∩B＝{2}．综上，a＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}，2-1-c-n-j-y
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
【解】 (1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8,4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
10．已知集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋1}，B＝{x|0＜x＜1}.
(1)若a＝，求A∩B；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
【解】 (1)当a＝时，A＝，B＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．
(2)若A∩B＝ ，
当A＝ 时，有a－1≥2a＋1，∴a≤－2.
当A≠ 时，有
∴－2＜a≤－或a≥2.
综上可得，a≤－或a≥2.
[能力提升]
1．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
【解析】 ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}，
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
【答案】 D
2．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若A∩B＝B，则实数a组成的集合C中元素的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 当a＝0时，由 ( http: / / www.21cnjy.com )题意B＝ ，又A＝{3,5}，B A，当a≠0时，B＝，又A＝{3,5}，B A，此时＝3或5，则有a＝或a＝，故C＝.21*cnjy*com
【答案】 D
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
【解析】 ∵B＝{x|(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】 C
4．设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，C＝{x|1－2a＜x＜2a}.
(1)若C＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若C≠ 且C (A∩B)，求实数a的取值范围．
【解】 (1)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}＝ ，
∴1－2a≥2a，∴a≤，
即实数a的取值范围是.
(2)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}≠ ，
∴1－2a＜2a，即a>.
∵A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，
∴A∩B＝.
∵C (A∩B)，∴解得
即实数a的取值范围是.
[学业达标练]
一、选择题
1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
D [解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]
2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
C [由题意，B＝{2,3,4,5,6,8}，共有6个元素，故选C.]
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
D [集合{(x，y)| ( http: / / www.21cnjy.com )y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]21·cn·jy·com
4．将集合用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{(3,2)} D．(2,3)
B [解方程组解得所以答案为{(2,3)}．]
5．集合用描述法可表示为( )
A.
B.
C.
D.
D [由3，，，，即，，，从中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为xx＝，n∈N*.]【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________．
{0,1,4} [(－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4,02＝0，所以B＝{0,1,4}．]
7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.
{－3,1} [把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3,1}．]
8．若2 {x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．
{a|a≤2} [由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，∵2 {x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a的取值集合是{a|a≤2}．]www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋ ( http: / / www.21cnjy.com )13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．www-2-1-cnjy-com
(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1 000}．
(3)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
10．若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.
[解] ∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，
∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，
解得a＝0，或a＝－1，
当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合三要素；
当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合三要素；
∴a＝0或－1.
[冲A挑战练]
一、选择题
1．已知x，y为非零实数，则集合M＝mm＝＋＋为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
C [当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．]
2．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2 A}，则集合B中所有的元素之和为( )
A．2 B．－2
C．0 D.
B [若k2－2＝2，得k＝2或 ( http: / / www.21cnjy.com )k＝－2，当k＝2时，k－2＝0不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，得k＝±，显然满足条件；若k2－2＝1，得k＝±，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±，±，±，所以集合B中的元素之和为－2，则选B.]21教育网
二、填空题
3．集合{1,4,9,16,25}，用描述法表示为________．
{x|x＝n2，n∈Z且1≤n≤ ( http: / / www.21cnjy.com )5} [1＝12,4＝22,9＝32,16＝42,25＝52，故用描述法表示为{x|x＝n2，n∈Z且1≤n≤5}．]【出处：21教育名师】
4．集合A＝{x|03 [A＝{x|0所以A，B的公共元素个数是3个．]
三、解答题
5．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若A为单元素集合，求a的值；
(3)若A为双元素集合，求a的范围.
[解] (1)∵1∈A，∴a×12－3×1＋1＝0，∴a＝2.
(2)当a＝0时，x＝，满足题意
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，
∴a＝.
∴a＝0或a＝时A为单元素集合．
(3)当a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，
即a<且a≠0时，
方程ax2－3x＋1＝0有两解，
∴a<且a≠0时A为双元素集合.
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第二讲 集合间的基本关系
一、选择题
1．设集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，则集合A∪B＝( )
A．{1,3,1,2,4,5} B．{1}
C．{1,2,3,4,5} D．{2,3,4,5}
2．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，那么A∩B等于( )
A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}
C．{2,3,4} D．{x∈R|1＜x≤5}
3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )
A．1 B．3
C．4 D．8
4．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )
A．{0，x,1,2} B．{2,0,1,2}
C．{0,1,2} D．不能确定
5．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题
6．某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为________人．21世纪教育网版权所有
7．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图1 1 1中阴影部分表示的集合为________．
图1 1 1
8．若集合A＝，B＝，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.
三、解答题
9．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}，21教育网
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
[能力提升]
1．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
2．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若A∩B＝B，则实数a组成的集合C中元素的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
4．设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，C＝{x|1－2a＜x＜2a}.
(1)若C＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若C≠ 且C (A∩B)，求实数a的取值范围．
[学业达标练]
一、选择题
1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
4．将集合用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{(3,2)} D．(2,3)
5．集合用描述法可表示为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________．
7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.
8．若2 {x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
10．若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.
[冲A挑战练]
一、选择题
1．已知x，y为非零实数，则集合M＝mm＝＋＋为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
2．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2 A}，则集合B中所有的元素之和为( )
A．2 B．－2
C．0 D.
二、填空题
3．集合{1,4,9,16,25}，用描述法表示为________．
4．集合A＝{x|0三、解答题
5．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若A为单元素集合，求a的值；
(3)若A为双元素集合，求a的范围.
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