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第四讲 函数的概念
基础巩固
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的个数是( )．
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B 点拨：显然①③正确；在②中， ( http: / / www.21cnjy.com )对于不同的x，只需有唯一的y与之对应，y的值可以相同也可以不同；在④中，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如心电图．21·cn·jy·com
2．设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )．
A．f(x)＝x，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
D．f(x)＝，g(x)＝x－3
【答案】B 点拨：判断两个函数是否为同一函数，只需看两个函数的定义域和对应关系是否分别相同．选项A中，g(x)＝＝|x|，它与f(x)＝x的对应关系不同；选项B中，两个函数的定义域都为{x|x＞0}，且f(x)＝＝1，g(x)＝＝1对应关系也相同；选项C中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不同；选项D中，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域也不同．21·世纪*教育网
3．函数f(x)＝的定义域是( )．
A．[－1,2] B．[－1,0)∪(0,2]
C．[－2,0) D．(0,2]
【答案】C 点拨：要使函数f(x)＝有意义，需满足即∴－2≤x＜0.∴此函数的定义域是[－2,0)．21cnjy.com
4．已知函数f(x)＝ax＋－2，若f(2 013)＝10，则f(－2 013)的值为( )．
A．－14 B．－10
C．10 D．无法确定
【答案】A 点拨：∵f(x)＝ax＋－2，∴f(2 013)＝2 013a＋－2＝10，即2 013a＋＝12.∴f(－2 013)＝－2 013a－－2＝＝－12－2＝－14.www-2-1-cnjy-com
5．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为( )．2-1-c-n-j-y
A．R B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D．
【答案】D 点拨：由题意可知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5，又底边长y与腰长x应满足2x＞y，即2x＞10－2x，.21*cnjy*com
综上可知＜x＜5.
6．函数的值域是( )．
A．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．R
D．(－∞，2)∪(3，＋∞)
【答案】B 点拨：∵，21世纪教育网
又∵，∴y≠2.
∴函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
7．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )．
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
【答案】A 点拨：∵函数y＝x2－2x ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为{0,1,2,3}，∴自变量x取0,1,2,3四个实数，将x的值依次代入函数解析式，得因变量的值依次为0，－1,0,3，故其值域为{－1,0,3}．www.21-cn-jy.com
8．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图像的只可能是( )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
能力提升
9．点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素为( )．
A．(0,2) B．(2,0)
C．(，－1) D．(，1)
【答案】C 点拨：x＝2，y＝0时，，，
∴(2,0)在f作用下对应元素为(，－1)．
10．函数y＝f(x)，x∈[ ( http: / / www.21cnjy.com )a，b]，A＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，则A∩B中所含元素的个数是( )．21世纪教育网版权所有
A．0 B．1
C．0或1 D．0,1或2
【答案】C 点拨：集合A是函数y＝f(x)，x∈[a，b]图像上的所有点组成的集合，集合B是直角坐标系内横坐标为1的点组成的集合．若1[a，b]，则A∩B＝；若1∈[a，b]，则由函数的定义可知，在函数y＝f(x)中，当x＝1时，有唯一的y值与之对应，此时A∩B中只含有1个元素．21教育网
11．已知函数y＝f(x2－4)的定义域是[－1,5]，则函数y＝f(2x＋1)的定义域为__________．
【答案】 点拨：∵x∈[－1,5]，∴0≤x2≤25，∴－4≤x2－4≤21，则－4≤2x＋1≤21，∴≤x≤10，∴定义域为.2·1·c·n·j·y
12．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】[－5,5] [－2,3] ( http: / / www.21cnjy.com ) 点拨：由图像可以看出，函数y＝f(x)的自变量x的取值范围是－5≤x≤5，因变量y的取值范围是－2≤y≤3，∴f(x)的定义域为[－5,5]，值域为[－2,3]．【来源：21·世纪·教育·网】
13．给出下列函数：
①y＝x2－x＋2，x＞0；
②y＝x2－x，x∈R；
③y＝t2－t＋2，t∈R；
④y＝t2－t＋2，t＞0.
其中与函数y＝x2－x＋2，x∈R相等的是________．
【答案】③ 点拨：①中函 ( http: / / www.21cnjy.com )数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域不同，故两函数不相等；②中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域相同，但对应关系不同，故两函数也不相等；③中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域相同，对应关系也相同，故两函数相等；④中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的对应关系相同，但定义域不同，故两函数不相等．【来源：21cnj*y.co*m】
14．已知f(x)的定义域是[0,1]，且f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是 ，则正数m的取值范围是________．
【答案】 点拨：∵函数f(x)的定义域是[0,1]，且f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是，∴方程组无解，即无解．【出处：21教育名师】
又∵m＞0，∴1－m＜m，∴.
15．把下列集合用区间表示出来．
(1){x|x≠2且x≠1}；
(2)；
(3){x|x≥3或x≤－3}；
(4){x|－2≤x≤2且x≠1}．
【答案】解：(1)(－∞，1)∪(1,2)∪(2，＋∞)；
(2)；
(3)(－∞，－3]∪[3，＋∞)；
(4)[－2,1)∪(1,2]．
16．已知函数f(x)＝，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值；
(3)若f(4－a)－f(a－4)＋＝0，求a的值．
解：(1)要使函数f(x)＝有意义，需满足即∴x≥－4，且x≠1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x≥－4，且x≠1}．
(2)f(－1)＝，
f(12)＝.
(3)∵f(4－a)＝，
f(a－4)＝，21世纪教育网
∴由f(4－a)－f(a－4)＋＝0得，
，即.
∴，∴a＝4.
17．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与，f(3)与.
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与有什么关系？并证明你的发现．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＋＋＋…＋.
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝，，，.
(2)由(1)中求得结果可发现f(x)＋＝1，证明如下：
.
(3)f(1)＝，由(2)知，f(2)＋＝1，
f(3)＋＝1，…，f(2 013)＋＝1，
∴原式＝＝.
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基础巩固
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的个数是( )．
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )．
A．f(x)＝x，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
D．f(x)＝，g(x)＝x－3
3．函数f(x)＝的定义域是( )．
A．[－1,2] B．[－1,0)∪(0,2]
C．[－2,0) D．(0,2]
4．已知函数f(x)＝ax＋－2，若f(2 013)＝10，则f(－2 013)的值为( )．
A．－14 B．－10
C．10 D．无法确定
5．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为( )．21教育网
A．R B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D．
6．函数的值域是( )．
A．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．R
D．(－∞，2)∪(3，＋∞)
7．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )．
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
8．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图像的只可能是( )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
能力提升
9．点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素为( )．
A．(0,2) B．(2,0)
C．(，－1) D．(，1)
10．函数y＝f(x)，x∈[a， ( http: / / www.21cnjy.com )b]，A＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，则A∩B中所含元素的个数是( )．21世纪教育网版权所有
A．0 B．1
C．0或1 D．0,1或2
11．已知函数y＝f(x2－4)的定义域是[－1,5]，则函数y＝f(2x＋1)的定义域为__________．
12．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．给出下列函数：
①y＝x2－x＋2，x＞0；
②y＝x2－x，x∈R；
③y＝t2－t＋2，t∈R；
④y＝t2－t＋2，t＞0.
其中与函数y＝x2－x＋2，x∈R相等的是________．
14．已知f(x)的定义域是[0,1]，且f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是 ，则正数m的取值范围是________．
15．把下列集合用区间表示出来．
(1){x|x≠2且x≠1}；
(2)；
(3){x|x≥3或x≤－3}；
(4){x|－2≤x≤2且x≠1}．
16．已知函数f(x)＝，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值；
(3)若f(4－a)－f(a－4)＋＝0，求a的值．
17．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与，f(3)与.
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与有什么关系？并证明你的发现．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＋＋＋…＋.
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