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第一章 集合与函数的概念章末复习
【知识结构】
【考点归纳】
1．集合的“三性”
正确理解集合元素的三性，即 ( http: / / www.21cnjy.com )确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意．21教育网
2．集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系有包含、真包 ( http: / / www.21cnjy.com )含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A B时，不要遗漏A＝ .21·cn·jy·com
3．集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A B A∩B＝A A∪B＝B.www.21-cn-jy.com
4．函数与映射的概念
(1)已知A，B是两个非空集合，在 ( http: / / www.21cnjy.com )对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B.若f：A→B是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A到B的一一映射．
(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点 ( http: / / www.21cnjy.com )在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数．2·1·c·n·j·y
5．函数的单调性
(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间， ( http: / / www.21cnjy.com )利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：
①取值：任取x1，x2∈D，且x10；
②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形；
③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
④下结论：根据定义得出结论．
(3)证明函数单调性的等价变形：
①f(x)是单调递增函数 任意x10 [f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0；
②f(x)是单调递减函数 任意x1f(x2) <0 [f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.
6．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断， ( http: / / www.21cnjy.com )即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．21·世纪*教育网
【要点突破】
要点一 集合的基本概念
解决集合的概念问题的两个注意点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．21cnjy.com
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
例1、集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．
【训练1】 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
要点二 集合间的基本关系
两集合间关系的判断
(1)定义法．
①判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
②判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B.www-2-1-cnjy-com
(2)数形结合法．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值．
例2、已知集合A＝{x|2x－3≥3x＋5}，B＝{x|x≤2m－1}，若A B，则实数m的取值范围是________．
【训练2】 已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A B，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．－1或2 D．2或
要点三 集合的基本运算
集合基本运算的方法及注意点
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．2-1-c-n-j-y
(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．
(3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．
方向1 集合的运算
例1、设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则 U(A∪B)等于( )21*cnjy*com
A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4}
方向2 利用集合运算求参数
例2、(1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
(2)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤0
【训练3】 (1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于( )
A．{x∈R|x≤2} B．{x∈R|1≤x≤2}
C．{x∈R|－2≤x≤2} D．{x∈R|－2≤x≤1}
(2)设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠ ，则实数k的取值范围为________．
要点四 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；
②定义域所指永远是x的范围．
例4、(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( )
A． B．
C． D．∪
(2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为( )
A． B．
C．[0,1] D．
【训练4】 已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为( )
A．[－5,5] B．[－7,13] C．[－1,4] D．[－4,1]
要点五 求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
例5、(1)已知f(2x－3)＝2x2－3x，则f(x)＝________.
(2)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
【训练5】 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
要点六 函数的概念与性质
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
例6、已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
【训练6】 设f(x)是定义在R上的 ( http: / / www.21cnjy.com )函数，且满足f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)要点七 函数的图象及应用
作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
①平移：y＝f(x) y＝f(x±h)；
y＝f(x) y＝f(x)±k.(其中h>0，k>0)
②对称：y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x) y＝－f(－x)．
特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
例7、已知函数f(x)＝x2－2|x|＋a，其中x∈[－3,3]．
(1)判断函数f(x)的奇偶性．
(2)若a＝－1，试说明函数f(x)的单调性，并求出函数f(x)的值域．
【训练7】 对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．
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第一章 集合与函数的概念章末复习
【知识结构】
【考点归纳】
1．集合的“三性”
正确理解集合元素的三性，即确定性、 ( http: / / www.21cnjy.com )互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意．21世纪教育网版权所有
2．集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系有包含、真包含 ( http: / / www.21cnjy.com )和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A B时，不要遗漏A＝ .21·世纪*教育网
3．集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，V ( http: / / www.21cnjy.com )enn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A B A∩B＝A A∪B＝B.www-2-1-cnjy-com
4．函数与映射的概念
(1)已知A，B是两个非空集合，在对应关 ( http: / / www.21cnjy.com )系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B.若f：A→B是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A到B的一一映射．
(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在 ( http: / / www.21cnjy.com )于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数．21*cnjy*com
5．函数的单调性
(1)函数的单调性主要涉及求函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：
①取值：任取x1，x2∈D，且x10；
②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形；
③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
④下结论：根据定义得出结论．
(3)证明函数单调性的等价变形：
①f(x)是单调递增函数 任意x10 [f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0；
②f(x)是单调递减函数 任意x1f(x2) <0 [f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.
6．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即 ( http: / / www.21cnjy.com )先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．2-1-c-n-j-y
【要点突破】
要点一 集合的基本概念
解决集合的概念问题的两个注意点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．21教育名师原创作品
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
例1、集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．
解 由题意可知若集合M中只有一个元素，则方程 ( http: / / www.21cnjy.com )ax2－3x－2＝0只有一个根，当a＝0时，方程为－3x－2＝0，只有一个根x＝－；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×(－2)＝0，得a＝－.综上所述，a的取值范围是.【版权所有：21教育】
【训练1】 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析 因为3∈A，则m＋2＝3或 ( http: / / www.21cnjy.com )2m2＋m＝3，当m＋2＝3，即m＝1时，m＋2＝2m2＋m，不符合题意，故舍去；当2m2＋m＝3，即m＝1或m＝－，m＝1不合题意，若m＝－，m＋2≠2m2＋m，满足题意，故m＝－.21*cnjy*com
答案 －
要点二 集合间的基本关系
两集合间关系的判断
(1)定义法．
①判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
②判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B.21教育网
(2)数形结合法．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值．
例2、已知集合A＝{x|2x－3≥3x＋5}，B＝{x|x≤2m－1}，若A B，则实数m的取值范围是________．
解析 解不等式2x－3≥3x＋5得x≤－8，即A＝{x|x≤－8}，因为A B，所以2m－1≥－8，解得m≥－.21cnjy.com
答案 m≥－
【训练2】 已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A B，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．－1或2 D．2或
解析 由＝，可得解得x＝2，∴A＝{2}，又∵B＝{1，m}，A B，∴m＝2.
答案 A
要点三 集合的基本运算
集合基本运算的方法及注意点
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．
(3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．
方向1 集合的运算
例1、设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则 U(A∪B)等于( )
A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4}
解析 U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以 U(A∪B)＝{2,4}．
答案 D
方向2 利用集合运算求参数
例2、(1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
(2)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤0
解析 (1)由A∪B＝A ( http: / / www.21cnjy.com )知B A，所以m＝3或m＝，若m＝3，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A；若m＝，即m＝1或0，当m＝1时，＝1，不合题意，舍去，当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A，故选B．【出处：21教育名师】
(2)因为A∩B＝ ，所以0 B，且1 B，所以a≥1.
答案 (1)B (2)B
【训练3】 (1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于( )
A．{x∈R|x≤2} B．{x∈R|1≤x≤2}
C．{x∈R|－2≤x≤2} D．{x∈R|－2≤x≤1}
(2)设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠ ，则实数k的取值范围为________．
解析 (1)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x ( http: / / www.21cnjy.com )∈R|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．
(2)因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，
且M∩N≠ ，所以－≥－3 k≤6.
答案 (1)D (2)k≤6
要点四 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；
②定义域所指永远是x的范围．
例4、(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( )
A． B．
C． D．∪
(2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为( )
A． B．
C．[0,1] D．
解析 (1)由题意知解得x<1且x≠，即f(x)的定义域是∪.
(2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1 ( http: / / www.21cnjy.com ),2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]．www.21-cn-jy.com
答案 (1)D (2)C
【训练4】 已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为( )
A．[－5,5] B．[－7,13] C．[－1,4] D．[－4,1]
解析 可以画出函数y＝－2x＋3 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f(x)＝－5时，x＝4；当f(x)＝5时，x＝－1，所以定义域为[－1,4]．2·1·c·n·j·y
答案 C
要点五 求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
例5、(1)已知f(2x－3)＝2x2－3x，则f(x)＝________.
(2)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
解析 (1)令2x－3＝t，得x＝(t＋3)，则f(t)＝2×(t＋3)2－(t＋3)＝t2＋t，所以f(x)＝x2＋x.
(2)因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.
答案 (1)x2＋x (2)x＋
【训练5】 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ( http: / / www.21cnjy.com )则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，所以解得所以f(x)＝2x＋7.
要点六 函数的概念与性质
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
例6、已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
因此，实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
∵－2≤x1＜x2≤－1，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
【训练6】 设f(x)是定义在R上的函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，且满足f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)解 ∵f(x)是定义在R上的函数，且f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
又f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又2a2＋a＋1＝22＋>0，
2a2－4a＋3＝2(a－1)2＋1>0，
由f(2a2＋a＋1)2a2＋a＋1>2a2－4a＋3，
得5a>2，a>.
∴a的取值范围是a>.
要点七 函数的图象及应用
作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
①平移：y＝f(x) y＝f(x±h)；
y＝f(x) y＝f(x)±k.(其中h>0，k>0)
②对称：y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x) y＝－f(－x)．
特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
例7、已知函数f(x)＝x2－2|x|＋a，其中x∈[－3,3]．
(1)判断函数f(x)的奇偶性．
(2)若a＝－1，试说明函数f(x)的单调性，并求出函数f(x)的值域．
解 (1)因为定义域[－3,3]关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋a
＝x2－2|x|＋a＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
即f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示．
函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，(－1,0)，[0,1]，(1,3]．
f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在(－1,0)，(1,3]上为增函数．
当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；
当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2]．
【训练7】 对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．
解析 首先应理解题意，“函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．【来源：21·世纪·教育·网】
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
答案 2
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