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第七讲 对数函数及其性质的应用
一、选择题
1．若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A. B．(10a,1－b)
C. D．(a2,2b)
2．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
3．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是( )
A．[－1,1] B．[，]
C．[，3] D．[－3，]
4．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
5．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
二、填空题
6．比较大小log0.2π________log0.23.14(填“<”“>”或“＝”)．
7．函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
8．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1，②0
a>1，④0三、解答题
9．已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．
求证：(1)函数f(x)是偶函数；
(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)其中(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
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第七讲 对数函数及其性质的应用
一、选择题
1．若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A. B．(10a,1－b)
C. D．(a2,2b)
【答案】选D 因为点(a，b)在y＝lg ( http: / / www.21cnjy.com )x图象上，所以b＝lg a.当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点不在函数图象上，A不正确；21世纪教育网版权所有
当x＝10a时，有y＝lg(10a)＝1＋lg a＝1＋b，所以点(10a,1－b)不在函数图象上，B不正确；
当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，所以点不在函数图象上，C不正确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数图象上，D正确．21教育网
2．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
【答案】选B 当a>1时，loga<0<1，成立．
当0由loga<1＝logaa，得0综上所述，0＜a＜或a>1.
3．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是( )
A．[－1,1] B．[，]
C．[，3] D．[－3，]
【答案】选B 由－1≤2logx≤1，得－≤
logx≤，
即log ()≤logx≤log ()，
解得≤x≤.
4．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】选D f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
5．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
【答案】选B 题目中隐含条件a>0，
当a>0时，2－ax为减函数，
故要使y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，
则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数，
即2－a>0，故可得1二、填空题
6．比较大小log0.2π________log0.23.14(填“<”“>”或“＝”)．
解析：∵y＝log0.2x在定义域上为减函数，
且π>3.14，
∴log0.2π答案：<
7．函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
解析：(1)当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
(2)当0loga＝1，所以a＝.
由(1)(2)知a＝2或a＝.
答案：2或
8．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1，②0a>1，④0解析：当a＝b＝1；或a＝，b＝；或a＝2，b＝3时，都有loga＝logb.故②③⑤均可能成立．
答案：②③⑤
三、解答题
9．已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．
求证：(1)函数f(x)是偶函数；
(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
证明：(1)函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝log2[1＋(－x)2]
＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(2)设0则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x)－log2(1＋x)
＝log2.
由于0则0则0<1＋x<1＋x，
所以0<<1.
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log2<0.
所以f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)其中(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解：(1)要使函数有意义，
则有解之得：－3所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)
＝loga(－x2－2x＋3)
＝loga[－(x＋1)2＋4]，
∵－3∵0∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4；
由loga4＝－4，得a－4＝4，∴a＝4＝.
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