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第八讲 幂函数
一、选择题
1.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．n
C．n>m>0 D．m>n>0
【答案】选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.
2．下列幂函数中，定义域为R且为偶函数的个数为( )
①y＝x－2；②y＝x；③y＝x；④y＝x.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】选A 易知②③中的函数是奇函数，①中函数是偶函数，但其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；④中函数符合条件．故选A.21教育网
3．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )21·cn·jy·com
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】选A ∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，，1,3.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.
4．函数y＝x的图象大致是( )
【答案】选B 由于>1，故可排除选 ( http: / / www.21cnjy.com )项A，D.根据幂函数的性质可知，当α>1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C，只有选项B正确．21cnjy.com
5．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．b【答案】选D 构造幂函数y＝x (x∈R)，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以aa>b.www.21-cn-jy.com
二、填空题
6．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析：由y＝(m－1)x ( http: / / www.21cnjy.com )m2－m为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：②
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：由表中数据知＝α，∴α＝，∴f(x)＝x，∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}
8．为了保证信息的安全传输 ( http: / / www.21cnjy.com )，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．21世纪教育网版权所有
解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x.由x＝3，得x＝9.2·1·c·n·j·y
答案：9
三、解答题
9．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．21世纪教育网
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)10．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，依据函数y＝m2－2m－3的图象，解得－1又m∈Z，∴m＝0,1,2，而当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数；当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R.
又g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围
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第八讲 幂函数
一、选择题
1.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
2．下列幂函数中，定义域为R且为偶函数的个数为( )
①y＝x－2；②y＝x；③y＝x；④y＝x.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )21教育网
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数y＝x的图象大致是( )
5．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．b二、填空题
6．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
8．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密 ( http: / / www.21cnjy.com )密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．21世纪教育网版权所有
三、解答题
9．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)10．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
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