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第三讲 指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则( )
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
【解析】 a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.21世纪教育网版权所有
【答案】 D
2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域是( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
【解析】 由题意可知f(2)＝1，即32 ( http: / / www.21cnjy.com )－b＝1，解得b＝2，∴f(x)＝3x－2，又2≤x≤4，故0≤x－2≤2，∴f(x)∈[1,9]，故f(x)的值域为[1,9]．21cnjy.com
【答案】 C
3．函数y＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
【解析】 y＝＝2x－1，因为y＝x－1在R上是递增的，所以函数y＝的单调递增区间为(－∞，＋∞)．21教育网
【答案】 A
4．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上( )
A．单调递减且无最小值
B．单调递减且有最小值
C．单调递增且无最大值
D．单调递增且有最大值
【解析】 函数f(x)＝为减函数，2x＋1＞1，故f(x)＝∈(0,1)，无最值．
【答案】 A
5．某食品的保鲜时间y(单位：小 ( http: / / www.21cnjy.com )时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )2·1·c·n·j·y
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．21小时
【解析】 由题意，得于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时)．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 C
二、填空题
6．已知y＝21＋ax在R上是减函数，则a的取值范围是________.
【解析】 ∵y＝21＋ax在R上是减函数，∴y＝ax＋1在R上是减函数，∴a<0，即a的取值范围是(－∞，0)．21·世纪*教育网
【答案】 (－∞，0)
7．不等式0.52x>0.5x－1的解集为________．(用区间表示)
【解析】 ∵0<0.5<1，由0.52x>0.5x－1得2x【答案】 (－∞，－1)
8．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．
【解析】 由于函数在[1,2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a＋a2＝6，又a＞0，解得a＝2.www-2-1-cnjy-com
【答案】 2
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；
(2)0.72－与0.70.3；
(3)0.60.4与0.40.6.
【解】 (1)由于y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－3，所以1.9－π<1.9－3.
(2)因为y＝0.7x在R上单调递减，
而2－≈0.267 9<0.3，所以0.72－>0.70.3.
(3)因为y＝0.6x在R上单调递减， ( http: / / www.21cnjy.com )所以0.60.4>0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6>0.40.6，所以0.60.4>0.40.6.21·cn·jy·com
10．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.
(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；
(2)用定义证明：函数g(x)在R上是单调递减函数；
(3)求函数g(x)的值域.
【解】 (1)由f(a＋2)＝3a＋2＝81，得a＋2＝4，故a＝2，则g(x)＝，
又g(－x)＝＝＝－f(x)，
故g(x)是奇函数．
(2)证明：设x1∵x1又2x1>0,2x2>0，∴g(x1)－g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，则函数g(x)在R上是单调递减函数．
(3)g(x)＝＝＝－1.
∵2x>0,2x＋1>1，∴0<<1,0<<2，－1<－1<1，故函数g(x)的值域为(－1,1)．
[能力提升]
1．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【解析】 f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故选D.
【答案】 D
2．a＝9－0.5，b＝，c＝3－1.1，则a，b，c的大小关系为________.
【解析】 先将三个指数化为同底 ( http: / / www.21cnjy.com )型：a＝3－1，b＝3－1.2，c＝3－1.1，构造函数y＝3x，该函数为R上的增函数，且－1>－1.1>－1.2，∴3－1>3－1.1>3－1.2，∴a>c>b.www.21-cn-jy.com
【答案】 a>c>b
3．函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ∵函数f(x)＝在R上单调递增，
∴求得4≤a＜8.
【答案】 [4,8)
4．已知函数f(x)＝1－，x∈(b－3,2b)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)是区间(b－3,2b)上的减函数；
(3)若f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵函数f(x)＝1－，x∈(b－3,2b)是奇函数，
∴f(0)＝1－＝0，且b－3＋2b＝0，即a＝2，b＝1.
(2)证明：由(1)得f(x)＝1－＝，x∈(－2,2)，
设任意x1，x2∈(－2,2)且x1＜x2，
∴f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵x1＜x2，∴5x1<5x2，
∴5x2－5x1>0，
又∵5x1＋1>0,5x2＋1>0，
∴>0，∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)是区间(－2,2)上的减函数．
(3)∵f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，
∴f(m－1)＞－f(2m＋1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(m－1)＞f(－2m－1)．
∵f(x)是区间(－2,2)上的减函数，
∴即
∴－1＜m＜0，
所以，实数m的取值范围是(－1,0).
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第三讲 指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则( )
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域是( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
3．函数y＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
4．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上( )
A．单调递减且无最小值
B．单调递减且有最小值
C．单调递增且无最大值
D．单调递增且有最大值
5．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏 ( http: / / www.21cnjy.com )温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )21世纪教育网版权所有
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．21小时
二、填空题
6．已知y＝21＋ax在R上是减函数，则a的取值范围是________.
7．不等式0.52x>0.5x－1的解集为________．(用区间表示)
8．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；
(2)0.72－与0.70.3；
(3)0.60.4与0.40.6.
10．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.
(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；
(2)用定义证明：函数g(x)在R上是单调递减函数；
(3)求函数g(x)的值域.
[能力提升]
1．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
2．a＝9－0.5，b＝，c＝3－1.1，则a，b，c的大小关系为________.
3．函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
4．已知函数f(x)＝1－，x∈(b－3,2b)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)是区间(b－3,2b)上的减函数；
(3)若f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．
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